Zbiór wartości funkcji f(x) = sin x + sin(x + π/3)

Krok 1. a) Suma sinusów na iloczyn. Połowa sumy kątów $x + \frac{\pi}{3}$ i $x$ to $x + \frac{\pi}{6}$, połowa różnicy - $\frac{\pi}{6}$:

$f(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right).$

Krok 2. b) Zbiór wartości. Sinus przyjmuje wszystkie wartości z $\langle -1;\ 1\rangle$, więc po pomnożeniu przez $\sqrt{3}$ dostajemy $\langle -\sqrt{3};\ \sqrt{3}\rangle$. Przesunięcie argumentu o $\frac{\pi}{6}$ nie zmienia zbioru wartości.

Krok 3. b) Okres. Funkcja $\sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ to sinusoida przesunięta w lewo o $\frac{\pi}{6}$ - okres się nie zmienia i wynosi $2\pi$.

Krok 4. c) Wartość największa. $f(x) = \sqrt{3}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$:

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \Longleftrightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Sprawdzenie. $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Odpowiedź. a) $f(x) = \sqrt{3}\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$; b) zbiór wartości $\langle -\sqrt{3};\ \sqrt{3}\rangle$, okres podstawowy $2\pi$; c) $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Uwaga: odpowiedź „zbiór wartości $\langle -2;\ 2\rangle$” (bo każdy z dwóch sinusów daje najwyżej 1) jest błędna - oba sinusy nie osiągają jedynki dla tego samego $x$.