Granica niewłaściwa funkcji - kiedy wynik to plus lub minus nieskończoność

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja $f$ ma w punkcie $a$ granicę niewłaściwą $+\infty$, gdy jej wartości rosną ponad każdą liczbę, jeśli tylko $x$ jest dostatecznie blisko $a$ (i $x \neq a$). Zapisujemy $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$. Analogicznie granica $-\infty$ oznacza, że wartości spadają poniżej każdej liczby. Granice niewłaściwe liczymy też w nieskończoności, np. $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - o granicy funkcji w nieskończoności - wynik był zawsze liczbą. Teraz zajmujemy się sytuacjami, w których wartości funkcji nie zbliżają się do żadnej liczby, tylko uciekają w górę lub w dół. To wersja dla funkcji tego, co znamy z lekcji o ciągach rozbieżnych do nieskończoności.

Granica niewłaściwa w punkcie - funkcja 1/x²

Funkcja $f(x) = \frac{1}{x^2}$ nie jest określona w zerze. Zobaczmy, co dzieje się z jej wartościami, gdy $x$ zbliża się do $0$:

Wartości rosną bez ograniczenia - z obu stron zera. Żadna liczba nie jest granicą, ale zachowanie jest bardzo regularne: jakkolwiek dużą liczbę $M$ wybierzemy, blisko zera wartości ją przekroczą. Warunek $\frac{1}{x^2} > M$ oznacza $|x| < \frac{1}{\sqrt{M}}$ - dla $M = 10\,000$ wystarczy $|x| < 0{,}01$.

Definicja (Heinego). $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$, jeśli dla każdego ciągu $x_n \to a$ o wyrazach $x_n \neq a$ ciąg wartości $f(x_n)$ jest rozbieżny do $+\infty$. Granicę $-\infty$ definiujemy analogicznie. Słowo „niewłaściwa” przypomina, że $+\infty$ nie jest liczbą: piszemy $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$, ale nie piszemy $\frac{1}{0} = \infty$.

Granice jednostronne nieskończone - funkcja 1/(x − 2)

Funkcja $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ zachowuje się przy $x \to 2$ inaczej z każdej strony:

Z prawej strony mianownik jest małą liczbą dodatnią i wartości rosną do $+\infty$, z lewej - małą liczbą ujemną i wartości spadają do $-\infty$:

$\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty \qquad \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty$

Granice jednostronne są różne, więc granica $\lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{x - 2}$ nie istnieje - ani skończona, ani niewłaściwa. Granice jednostronne poznaliśmy w lekcji granice jednostronne funkcji; tutaj ich wartości po prostu nie są liczbami.

Gdy przy $x \to a$ (choćby z jednej strony) wartości uciekają do $\pm\infty$, pionowa prosta $x = a$ jest asymptotą pionową wykresu. Wyznaczanie asymptot omawiamy w lekcji asymptoty wykresu funkcji.

Metoda znaku: liczba/0⁺ i liczba/0⁻

Najczęstsza sytuacja w zadaniach: podstawiamy $x = a$ i licznik daje liczbę $g \neq 0$, a mianownik daje zero. To nie jest symbol nieoznaczony - granica (jednostronna) na pewno jest nieskończona. Zostaje ustalić znak. Zapisujemy $0^+$, gdy mianownik dąży do zera przez wartości dodatnie, i $0^-$, gdy przez ujemne.

Schemat postępowania:

1. Podstaw $x = a$. Jeśli wychodzi $\frac{0}{0}$ - najpierw skróć ułamek (jak w lekcji obliczanie granic funkcji).
2. Jeśli wychodzi $\frac{g}{0}$ z $g \neq 0$ - ustal znak licznika.
3. Rozłóż mianownik na czynniki i ustal jego znak dla $x$ trochę mniejszych i trochę większych od $a$.
4. Znak granicy = znak licznika razy znak mianownika.

Przykład 1. Oblicz $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x - 5}{(x + 1)^2}$.

Krok 1. Licznik dąży do $2 \cdot (-1) - 5 = -7$, mianownik do $0$.

Krok 2. Mianownik to kwadrat, więc z obu stron jest dodatni: $(x + 1)^2 \to 0^+$.

Krok 3. $\frac{-7}{0^+} = -\infty$ - z obu stron to samo.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{2x - 5}{(x + 1)^2} = -\infty$. Granica obustronna istnieje (jest niewłaściwa), bo obie jednostronne są równe $-\infty$.

Przykład 2. Oblicz granice jednostronne funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 9}$ w punktach $3$ i $-3$.

Krok 1. Licznik w obu punktach dąży do $9 + 1 = 10 > 0$. Mianownik rozkładamy: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Krok 2. Tabelka znaków mianownika - sprawdzamy znak każdego czynnika tuż obok punktu:

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -3^-} f(x) = +\infty$, $\lim\limits_{x \to -3^+} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$. W żadnym z punktów granica obustronna nie istnieje.

Przykład 3. Oblicz granice jednostronne $\lim\limits_{x \to 2^{\pm}} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4}$.

Krok 1. Podstawienie daje $\frac{0}{0}$, więc to nie jest jeszcze przypadek „liczba przez zero”. Rozkładamy: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ i $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Krok 2. Skracamy (dla $x \neq 2$):

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x + 2}{x - 2}$

Krok 3. Teraz metoda znaku. Licznik dąży do $4$. Mianownik $x - 2 \to 0^+$ przy $x \to 2^+$ i $x - 2 \to 0^-$ przy $x \to 2^-$.

Odpowiedź. Granica prawostronna wynosi $+\infty$, a lewostronna $-\infty$. Krok 1 jest konieczny, bo przy $\frac{0}{0}$ wynik może okazać się zwykłą liczbą - np. dla $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ skrócenie daje $x + 2 \to 4$, a nie nieskończoność.

Granica niewłaściwa w ±∞ - potęgi i wielomiany

Przy $x \to +\infty$ każda potęga $x^k$ (dla $k > 0$) rośnie do $+\infty$. Przy $x \to -\infty$ decyduje parzystość wykładnika:

Wielomian zachowuje się w nieskończoności jak jego wyraz najwyższego stopnia. Uzasadnienie: wyłączamy ten wyraz przed nawias, a w nawiasie zostaje $1$ plus ułamki dążące do zera.

Przykład 4. Oblicz $\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 + 1)$ oraz $\lim\limits_{x \to -\infty} (-2x^3 + 5x^2 + 1)$.

Krok 1. Wyłączamy $-2x^3$:

$-2x^3 + 5x^2 + 1 = -2x^3 \left(1 - \frac{5}{2x} - \frac{1}{2x^3}\right)$

Krok 2. Nawias dąży do $1$ w obu nieskończonościach. Przy $x \to +\infty$ czynnik $-2x^3 \to -\infty$, a przy $x \to -\infty$ jest $x^3 \to -\infty$, więc $-2x^3 \to +\infty$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 + 1) = -\infty$ oraz $\lim\limits_{x \to -\infty} (-2x^3 + 5x^2 + 1) = +\infty$.

Przykład 5. Oblicz $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^3 + 2x}{x^2 - 5}$.

Krok 1. Licznik ma wyższy stopień niż mianownik. Dzielimy przez najwyższą potęgę z mianownika, $x^2$:

$\frac{x^3 + 2x}{x^2 - 5} = \frac{x + \frac{2}{x}}{1 - \frac{5}{x^2}}$

Krok 2. Licznik dąży do $-\infty$ (bo $x \to -\infty$, a $\frac{2}{x} \to 0$), mianownik do $1$.

Odpowiedź. $-\infty$. Ogólnie dla ilorazu wielomianów z licznikiem wyższego stopnia znak wyniku ustalamy z ilorazu wyrazów najwyższego stopnia: tu $\frac{x^3}{x^2} = x$, a $x \to -\infty$.

Przykład 6. Oblicz granice funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x$ w $+\infty$ i w $-\infty$.

Krok 1. Plus nieskończoność. Oba składniki dążą do $+\infty$, a $\infty + \infty = +\infty$. Żadnego symbolu nieoznaczonego tu nie ma.

Krok 2. Minus nieskończoność. Teraz $\sqrt{x^2 + 1} \to +\infty$, a $x \to -\infty$ - symbol $\infty - \infty$. Mnożymy przez wyrażenie sprzężone:

$\sqrt{x^2 + 1} + x = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} - x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x}$

Przy $x \to -\infty$ mianownik to suma dwóch dużych liczb dodatnich ($\sqrt{x^2 + 1}$ i $-x$), więc dąży do $+\infty$, a cały ułamek do $0$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ oraz $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.

Działania z nieskończonością i symbole nieoznaczone

Reguły są takie same jak dla ciągów (szczegóły w lekcji ciąg rozbieżny do nieskończoności). Poniżej $g$ oznacza granicę skończoną, a zapis „$g \cdot \infty$” - iloczyn funkcji dążącej do $g$ i funkcji dążącej do $+\infty$.

Symbole nieoznaczone - ten sam typ daje różne wyniki, więc zawsze trzeba przekształcić wyrażenie:

Zapis „$\frac{g}{0}$” bez znaku zera też nie przesądza o wyniku: $\frac{1}{x^2} \to +\infty$ przy $x \to 0$, ale $\frac{1}{x}$ w zerze nie ma granicy, bo z prawej daje $+\infty$, a z lewej $-\infty$.

Typowe błędy

• „$\frac{1}{0} = \infty$”. Przez zero nie dzielimy. Zapis $\frac{g}{0^+}$ to skrót myślowy dla granicy, w której mianownik dąży do zera przez wartości dodatnie.
• Sprawdzanie tylko jednej strony. Dla $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 9}$ przy $x \to 3$ granica prawostronna wynosi $+\infty$, ale lewostronna $-\infty$ - granica obustronna nie istnieje.
• Pominięcie $\frac{0}{0}$. Jeśli licznik też dąży do zera, najpierw skracamy. Funkcja $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ma w punkcie $2$ granicę $4$, a nie nieskończoność.
• Zgubiony znak w $-\infty$. $x^3 \to -\infty$ przy $x \to -\infty$, więc $-2x^3 \to +\infty$. Parzystość wykładnika ma znaczenie.
• „$\infty - \infty = 0$”. W przykładzie 6 wyszło $0$, ale np. $x^2 - x \to +\infty$ - symbol nieoznaczony zawsze trzeba rozwiązać rachunkiem.

Najczęstsze pytania

Co to jest granica niewłaściwa funkcji? To granica równa $+\infty$ albo $-\infty$. Oznacza, że wartości funkcji rosną ponad każdą liczbę (albo spadają poniżej każdej), gdy $x$ zbliża się do danego punktu lub dąży do nieskończoności. Przykład: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.

Ile wynosi granica 1/x przy x dążącym do 0? Granica obustronna nie istnieje. Granica prawostronna wynosi $+\infty$, a lewostronna $-\infty$ - są różne. Inaczej jest dla $\frac{1}{x^2}$: z obu stron wartości rosną, więc granica w zerze to $+\infty$.

Jak obliczyć granicę, gdy w mianowniku wychodzi zero? Sprawdź licznik. Jeśli też daje zero, masz symbol $\frac{0}{0}$ - rozłóż na czynniki i skróć. Jeśli licznik daje liczbę różną od zera, granica jednostronna jest nieskończona, a jej znak ustalasz ze znaku licznika i znaku mianownika tuż obok punktu.

Jak ustalić znak nieskończoności w granicy? Rozłóż mianownik na czynniki i sprawdź znak każdego czynnika dla $x$ trochę większych i trochę mniejszych od punktu (np. $2{,}99$ i $3{,}01$). Znak granicy to znak licznika pomnożony przez znak mianownika. Wygodnie zapisać to w tabelce znaków.

Ile wynosi liczba podzielona przez nieskończoność? Zero: jeśli licznik dąży do liczby, a mianownik do $\pm\infty$, iloraz dąży do $0$. Na przykład $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{7}{x^2} = 0$.

Jaka jest granica wielomianu w nieskończoności? Taka sama jak granica jego wyrazu najwyższego stopnia. Przy $x \to +\infty$ znak wyniku to znak współczynnika przy najwyższej potędze. Przy $x \to -\infty$ trzeba jeszcze uwzględnić parzystość stopnia: $-2x^3 \to +\infty$, a $-x^4 \to -\infty$.

Czym różni się granica niewłaściwa od braku granicy? Granica niewłaściwa opisuje konkretne zachowanie: wartości uciekają w jedną stronę ($+\infty$ albo $-\infty$). Brak granicy oznacza, że takiego jednego zachowania nie ma - np. $\frac{1}{x}$ w zerze ucieka w różne strony, a $\sin x$ w $+\infty$ oscyluje.

Przećwicz

• Granica niewłaściwa funkcji - zadania → - 7 zadań: liczba przez $0^+$, granice jednostronne nieskończone i tabelka znaków mianownika, symbol $\frac{0}{0}$ zamieniający się w nieskończoność, wielomiany i ilorazy w $\pm\infty$, pierwiastek w liczniku i parametr decydujący o znaku granicy.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$: wartości przekraczają każdą liczbę dla $x$ dostatecznie bliskich $a$.
• Przypadek „$\frac{g}{0}$” z $g \neq 0$: granica jednostronna jest nieskończona; znak = znak licznika razy znak mianownika ($0^+$ albo $0^-$).
• Gdy granice jednostronne to $+\infty$ i $-\infty$, granica obustronna nie istnieje.
• Przy $\frac{0}{0}$ najpierw skracamy, dopiero potem badamy znak.
• Wielomian w $\pm\infty$ zachowuje się jak wyraz najwyższego stopnia; przy $x \to -\infty$ liczy się parzystość wykładnika.
• $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ to symbole nieoznaczone - wymagają przekształcenia.

Zobacz też

• Granica funkcji w nieskończoności - poprzednia lekcja: granice skończone przy $x \to \pm\infty$.
• Ciągłość funkcji w punkcie - następna lekcja: kiedy granica jest równa wartości funkcji.
• Asymptoty wykresu funkcji - granice niewłaściwe w punkcie dają asymptoty pionowe.
• Ciąg rozbieżny do nieskończoności - granica niewłaściwa ciągu i działania z nieskończonością.
• Granica funkcji - zwięzłe zestawienie definicji, granic jednostronnych i symboli nieoznaczonych.