Ciąg rozbieżny do nieskończoności - granica niewłaściwa

Klasa 3 liceum i technikum

Ciąg $(a_n)$ jest rozbieżny do $+\infty$, jeśli jego wyrazy przekraczają każdą liczbę: dla dowolnego $M$ prawie wszystkie wyrazy (wszystkie poza skończoną liczbą) są większe od $M$. Piszemy wtedy $\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$ i mówimy o granicy niewłaściwej. Analogicznie ciąg jest rozbieżny do $-\infty$, gdy dla każdego $M$ prawie wszystkie wyrazy są mniejsze od $M$.

To kolejna lekcja rozdziału ciągi. W poprzednich poznaliśmy granicę ciągu i rachunek granic ciągów zbieżnych. Teraz zajmujemy się ciągami, które nie zbliżają się do żadnej liczby, tylko uciekają w nieskończoność.

Rozbieżny to nie zawsze „do nieskończoności”

Ciąg, który nie ma granicy skończonej, nazywamy rozbieżnym. Są dwa zupełnie różne rodzaje rozbieżności:

Ciąg $(-2)^n$ jest nieograniczony, a mimo to nie ma granicy niewłaściwej: jego wyrazy ujemne spadają poniżej każdej liczby, więc nie jest prawdą, że prawie wszystkie wyrazy są większe od $M$.

Definicja granicy niewłaściwej na przykładzie

Definicja mówi: jakkolwiek wysoko postawisz poprzeczkę $M$, od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ją przeskakują. Dla ciągu $a_n = \frac{n^2}{5}$ i $M = 10$ warunek $\frac{n^2}{5} > 10$ oznacza $n^2 > 50$, czyli $n \geq 8$. Dla $M = 1000$ próg przesuwa się dalej, ale istnieje zawsze.

Przykład 1. Od którego wyrazu ciąg $a_n = 3n - 7$ przekracza $1000$?

Krok 1. Rozwiązujemy nierówność $3n - 7 > 1000$, czyli $3n > 1007$, $n > 335{,}67$.

Krok 2. Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to $n = 336$. Sprawdzenie: $a_{336} = 1001 > 1000$, a $a_{335} = 998$.

Odpowiedź. Od wyrazu $a_{336}$. Dla dowolnego $M$ działa tak samo: $n > \frac{M + 7}{3}$, więc ciąg jest rozbieżny do $+\infty$.

Granica ciągu qⁿ - wszystkie przypadki

Ciąg geometryczny $q^n$ to najważniejszy „wzorcowy” ciąg w tym dziale. Jego zachowanie zależy tylko od $q$:

Działania z nieskończonością

Gdy jeden z ciągów ma granicę niewłaściwą, większość działań da się rozstrzygnąć od razu (w zapisie skróconym $g$ oznacza granicę skończoną):

• $\infty + g = \infty$ oraz $\infty + \infty = \infty$, np. $n^2 + 5 \to \infty$;
• $\infty \cdot \infty = \infty$, np. $n \cdot 2^n \to \infty$;
• $g \cdot \infty = \infty$ dla $g > 0$ i $-\infty$ dla $g < 0$, np. $-2n^3 \to -\infty$;
• $\frac{g}{\pm\infty} = 0$, np. $\frac{7}{n^2} \to 0$;
• $\frac{g}{0^+} = +\infty$ dla $g > 0$, gdy mianownik dąży do zera przez wartości dodatnie, np. $\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 2n + 1 \to \infty$.

Symbole nieoznaczone

Cztery sytuacje nie mają z góry ustalonego wyniku. Ten sam „typ” daje różne granice:

Dlatego przy symbolu nieoznaczonym nie zgadujemy, tylko przekształcamy wyrażenie: wyłączamy najwyższą potęgę przed nawias, dzielimy przez nią albo mnożymy przez sprzężenie.

Obliczanie granic niewłaściwych - przykłady

Przykład 2. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^3 - 4n^2 + 1}{2n^2 + 3}$.

Krok 1. Stopień licznika ($3$) jest wyższy niż mianownika ($2$). Dzielimy przez $n^2$:

$\frac{n^3 - 4n^2 + 1}{2n^2 + 3} = \frac{n - 4 + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n^2}}$

Krok 2. Licznik dąży do $+\infty$, mianownik do $2$.

Odpowiedź. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^3 - 4n^2 + 1}{2n^2 + 3} = +\infty$.

Przykład 3. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{5 - 2n^3}{n^2 + n}$.

Dzielimy przez $n^2$:

$\frac{5 - 2n^3}{n^2 + n} = \frac{\frac{5}{n^2} - 2n}{1 + \frac{1}{n}}$

Licznik dąży do $-\infty$, mianownik do $1$. Odpowiedź. $-\infty$. Znak granicy decyduje znak ilorazu współczynników przy najwyższych potęgach: $\frac{-2}{1} < 0$.

Przykład 4 (∞ − ∞). Oblicz $\lim_{n \to \infty} (n^2 - 10n)$.

Wyłączamy $n$ przed nawias: $n^2 - 10n = n(n - 10)$. Oba czynniki dążą do $+\infty$, a $\infty \cdot \infty = \infty$.

Odpowiedź. $+\infty$ - pierwsze wyrazy są ujemne (np. $a_3 = -21$), ale to nie ma znaczenia, bo granica zależy od zachowania dla dużych $n$.

Przykład 5 (potęgi). Oblicz $\lim_{n \to \infty} (2^n - 5^n)$.

Wyłączamy potęgę o największej podstawie:

$2^n - 5^n = 5^n \left( \left(\frac{2}{5}\right)^n - 1 \right)$

Nawias dąży do $0 - 1 = -1$, a $5^n \to \infty$. Odpowiedź. $-\infty$.

Przykład 6. Oblicz $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n} - n)$.

$\sqrt{n} - n = n\left(\frac{1}{\sqrt{n}} - 1\right)$, a nawias dąży do $-1$.

Odpowiedź. $-\infty$ - pierwiastek rośnie wolniej niż $n$.

Przykład 7. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 1}{\sqrt{n}}$.

$\dfrac{n + 1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, czyli $\infty + 0$.

Odpowiedź. $+\infty$.

Typowe błędy

• „Rozbieżny” = „dąży do nieskończoności”. Ciąg $(-1)^n$ jest rozbieżny, ale nie ma granicy niewłaściwej. Tak samo $(-2)^n$, choć jego wyrazy rosną co do wartości bezwzględnej.
• Traktowanie $\infty$ jak liczby. $\infty - \infty$ nie jest zerem, a $\frac{\infty}{\infty}$ nie jest jedynką.
• Zgubiony znak. W $\frac{5 - 2n^3}{n^2 + n}$ najwyższa potęga ma współczynnik ujemny, więc granica to $-\infty$, nie $+\infty$.
• Wnioski z pierwszych wyrazów. Ciąg $n^2 - 10n$ ma dziewięć pierwszych wyrazów ujemnych, a mimo to dąży do $+\infty$.

Najczęstsze pytania

Co to jest granica niewłaściwa ciągu? To zapis $\lim a_n = +\infty$ albo $\lim a_n = -\infty$. Oznacza, że wyrazy ciągu przekraczają każdą liczbę $M$ (albo spadają poniżej każdej) - nie zbliżają się do żadnej liczby, tylko uciekają w nieskończoność.

Kiedy ciąg jest rozbieżny do nieskończoności? Gdy dla każdej liczby $M$ prawie wszystkie jego wyrazy są większe od $M$. Tak jest np. dla $n^2$, $3n - 7$, $2^n$ i $\sqrt{n}$.

Czy ciąg rozbieżny i ciąg rozbieżny do nieskończoności to to samo? Nie. Rozbieżny znaczy tylko „bez granicy skończonej”. Ciąg $(-1)^n$ jest rozbieżny, ale nie dąży ani do $+\infty$, ani do $-\infty$.

Jak obliczyć granicę ilorazu wielomianów, gdy licznik ma wyższy stopień? Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika. Licznik dąży wtedy do $\pm\infty$, a mianownik do liczby. Znak wyniku to znak ilorazu współczynników przy najwyższych potęgach.

Jakie są symbole nieoznaczone? Najczęściej spotykane to $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$ i $\frac{0}{0}$. Wynik zależy od konkretnych ciągów, dlatego wyrażenie trzeba przekształcić.

Ile wynosi granica 2ⁿ?$+\infty$, bo $2^n$ to potęga o podstawie większej od $1$. Ogólnie $q^n \to +\infty$ dla $q > 1$.

Ile to jest liczba podzielona przez nieskończoność? Zero: jeśli $a_n \to g$ i $b_n \to \pm\infty$, to $\frac{a_n}{b_n} \to 0$, np. $\frac{7}{n^2} \to 0$.

Przećwicz

• Granice niewłaściwe - zadania → - 7 zadań: iloraz wielomianów z licznikiem wyższego stopnia, różnica typu $\infty - \infty$, potęgi o różnych podstawach, próg z definicji, różnica $2n - \sqrt{n^2 + 1}$ i parametr decydujący o znaku granicy.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• $\lim a_n = +\infty$: dla każdego $M$ prawie wszystkie wyrazy są większe od $M$.
• Rozbieżny nie zawsze znaczy „do nieskończoności” - $(-1)^n$ i $(-2)^n$ nie mają żadnej granicy.
• $q^n \to +\infty$ dla $q > 1$, $\to 1$ dla $q = 1$, $\to 0$ dla $|q| < 1$, a dla $q \leq -1$ granica nie istnieje.
• $\infty + g = \infty$, $\frac{g}{\infty} = 0$, $g \cdot \infty = \pm\infty$ (znak $g$).
• Symbole $\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$ wymagają przekształcenia wyrażenia.

Zobacz też

• Jak obliczyć granicę ciągu - poprzednia lekcja: działania na granicach ciągów zbieżnych.
• Szereg geometryczny w zadaniach - następna lekcja: kiedy nieskończona suma ma skończony wynik.
• Granica ciągu - definicja, ciągi zbieżne i rozbieżne - definicja rozbieżności do $\pm\infty$ w zapisie z kwantyfikatorami.
• Ciąg harmoniczny 1/n - przykład sumy, która rośnie do nieskończoności bardzo powoli.