Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów - z dowodem

Klasa 3 liceum i technikum

Wzór na sinus sumy to $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, a wzór na cosinus sumy to $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. Wzory dla różnicy dostajemy, zmieniając znak $\beta$: w sinusie różnicy zmienia się znak w środku wzoru, w cosinusie różnicy minus zamienia się na plus. Wzory działają dla dowolnych kątów $\alpha$ i $\beta$.

Dlaczego sin(α + β) to nie sin α + sin β

Najczęstszy błąd w trygonometrii to „wymnożenie” sinusa przez nawias, jakby sinus był liczbą. Wystarczy jeden przykład, żeby zobaczyć, że to nie działa. Dla $\alpha = 30^\circ$ i $\beta = 60^\circ$:

$\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1, \qquad \text{a} \qquad \sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1{,}37.$

Sinus nie jest funkcją liniową, więc sinus sumy trzeba liczyć osobnym wzorem. Ten wzór wymaga znajomości obu funkcji obu kątów - sinusa i cosinusa. Dlatego w zadaniach tak często trzeba najpierw dopisać brakujący cosinus z jedynki trygonometrycznej.

Dowód wzoru na cosinus różnicy

Wszystkie cztery wzory wynikają z jednego: wzoru na $\cos(\alpha - \beta)$. Dowodzimy go na okręgu jednostkowym, korzystając z tego, że obrót nie zmienia odległości między punktami.

Krok 1. Długość cięciwy w położeniu wyjściowym. Kąty $\alpha$ i $\beta$ odkładamy od dodatniej półosi $OX$. Ich ramiona przecinają okrąg jednostkowy w punktach $A = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ i $B = (\cos\beta, \sin\beta)$. Ze wzoru na odległość punktów:

$|AB|^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2.$

Po rozwinięciu kwadratów i dwukrotnym użyciu jedynki ($\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ i $\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1$):

$|AB|^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta).$

Krok 2. Ta sama cięciwa po obrocie. Obracamy cały rysunek o kąt $-\beta$. Punkt $B$ trafia w punkt $B' = (1, 0)$, a punkt $A$ - w punkt $A' = (\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))$, bo kąt między ramionami się nie zmienia. Liczymy jeszcze raz:

$|A'B'|^2 = (\cos(\alpha - \beta) - 1)^2 + \sin^2(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta).$

Krok 3. Porównanie. Obrót nie zmienia długości odcinka, więc $|AB| = |A'B'|$. Przyrównujemy oba wyniki i dzielimy przez $-2$:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$

Rachunek nigdzie nie zakładał, że kąty są ostre ani że $\alpha > \beta$ - wzór jest prawdziwy dla dowolnych kątów.

Pozostałe wzory z jednego

Mając cosinus różnicy, resztę wyprowadzamy w kilku linijkach. Korzystamy z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa: $\cos(-\beta) = \cos\beta$, $\sin(-\beta) = -\sin\beta$.

Cosinus sumy. Zapisujemy sumę jako różnicę: $\alpha + \beta = \alpha - (-\beta)$.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$

Sinus sumy. Ze wzoru redukcyjnego$\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$:

$\sin(\alpha + \beta) = \cos\left(\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta.$

Sinus różnicy. Podstawiamy $-\beta$ w miejsce $\beta$: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Tangens sumy i różnicy. Dzielimy sinus sumy przez cosinus sumy, a potem licznik i mianownik przez $\cos\alpha\cos\beta$:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}.$

Wzór ma sens, gdy istnieją $\operatorname{tg}\alpha$, $\operatorname{tg}\beta$ i $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$, czyli gdy żaden z kątów $\alpha$, $\beta$, $\alpha + \beta$ nie jest postaci $\frac{\pi}{2} + k\pi$. Dla różnicy znaki się odwracają: $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$.

Wzory redukcyjne jako szczególny przypadek. Dla $\alpha = \pi$: $\sin(\pi - x) = \sin\pi\cos x - \cos\pi\sin x = 0 - (-1)\sin x = \sin x$. Wszystkie wzory redukcyjne z klasy 2 wynikają w ten sposób ze wzorów na sumę i różnicę.

Jak zapamiętać. Sinus „miesza” funkcje (sin·cos i cos·sin) i zachowuje znak działania. Cosinus „nie miesza” (cos·cos i sin·sin) i znak odwraca: przy sumie jest minus, przy różnicy plus.

Dokładne wartości dla 15°, 75° i 105°

Kąty, które są sumą albo różnicą kątów z tabeli ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$), mają dokładne wartości funkcji trygonometrycznych.

Przykład 1. Oblicz $\sin 15^\circ$.

Krok 1. Rozkładamy kąt: $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Krok 2. Wzór na sinus różnicy:

$\sin 15^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$

Odpowiedź. $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588$. Tę samą liczbę daje $\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ)$ - zgodnie z tym, że $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ$.

Przykład 2. Oblicz $\operatorname{tg} 105^\circ$.

$\operatorname{tg} 105^\circ = \operatorname{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}.$

Wynik jest ujemny, jak powinien: kąt $105^\circ$ leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny.

W radianach to te same kąty: $15^\circ = \frac{\pi}{12}$, $75^\circ = \frac{5\pi}{12}$, $105^\circ = \frac{7\pi}{12}$. Zestawienie wyników:

Wartości dla kątów z tabeli podstawowej znajdziesz w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Sinus sumy, gdy znamy funkcje i ćwiartki

Typowe zadanie podaje po jednej funkcji każdego kąta i przedział, w którym kąt leży. Brakujące funkcje uzupełniamy jedynką, a znak bierzemy z ćwiartki.

Przykład 3. Wiadomo, że $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right)$, oraz $\cos\beta = \frac{5}{13}$, $\beta \in \left(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right)$. Oblicz $\sin(\alpha + \beta)$ i $\cos(\alpha + \beta)$.

Krok 1. Brakujące funkcje. $\alpha$ leży w II ćwiartce, więc cosinus jest ujemny: $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$. $\beta$ leży w IV ćwiartce, więc sinus jest ujemny: $\sin\beta = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\frac{12}{13}$.

Krok 2. Sinus sumy.

$\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}.$

Krok 3. Cosinus sumy.

$\cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{16}{65}.$

Sprawdzenie. $\left(\frac{63}{65}\right)^2 + \left(\frac{16}{65}\right)^2 = \frac{3969 + 256}{4225} = 1$ - jedynka się zgadza.

Odpowiedź. $\sin(\alpha + \beta) = \frac{63}{65}$, $\cos(\alpha + \beta) = \frac{16}{65}$.

Przykład 4. Kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostre, $\operatorname{tg}\alpha = 2$, $\operatorname{tg}\beta = 3$. Wyznacz $\alpha + \beta$.

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1.$

Oba kąty są ostre, więc $0^\circ < \alpha + \beta < 180^\circ$. W tym przedziale tangens równy $-1$ ma tylko kąt $135^\circ$. Odpowiedź: $\alpha + \beta = 135^\circ = \frac{3\pi}{4}$.

Upraszczanie wyrażeń i dowodzenie tożsamości

Wzory na sumę i różnicę rozwijają nawiasy - a po rozwinięciu wiele wyrazów się redukuje.

Przykład 5. Uprość $\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Rozwijamy oba sinusy. Wyrazy $\cos x\sin\frac{\pi}{6}$ mają przeciwne znaki i się znoszą:

$\sin x\cos\tfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\tfrac{\pi}{6} + \sin x\cos\tfrac{\pi}{6} - \cos x\sin\tfrac{\pi}{6} = 2\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\sin x.$

Przykład 6. Udowodnij, że $\cos(x + y)\cos(x - y) = \cos^2 x - \sin^2 y$.

Przekształcamy lewą stronę. Iloczyn ma postać $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$:

$L = (\cos x\cos y - \sin x\sin y)(\cos x\cos y + \sin x\sin y) = \cos^2 x\cos^2 y - \sin^2 x\sin^2 y.$

Zamieniamy $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$ i $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$L = \cos^2 x(1 - \sin^2 y) - (1 - \cos^2 x)\sin^2 y = \cos^2 x - \cos^2 x\sin^2 y - \sin^2 y + \cos^2 x\sin^2 y = \cos^2 x - \sin^2 y = P.$

Odwrotnie też się przydaje: wyrażenie $\sin 50^\circ\cos 10^\circ + \cos 50^\circ\sin 10^\circ$ „zwijamy” do $\sin(50^\circ + 10^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Zamiana a sin x + b cos x na jeden sinus

Suma sinusa i cosinusa tego samego argumentu, wzięta z dowolnymi współczynnikami, jest zawsze jedną sinusoidą - przesuniętą i rozciągniętą. To bezpośredni wniosek ze wzoru na sinus sumy.

Skąd wzór. Rozwijamy $R\sin(x + \varphi)$:

$R\sin(x + \varphi) = R\cos\varphi \cdot \sin x + R\sin\varphi \cdot \cos x.$

Żeby to było równe $a\sin x + b\cos x$, potrzeba $R\cos\varphi = a$ i $R\sin\varphi = b$. Podnosimy obie równości do kwadratu i dodajemy - jedynka daje $R^2 = a^2 + b^2$. Stąd

$R = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \cos\varphi = \frac{a}{R}, \qquad \sin\varphi = \frac{b}{R}.$

Kąt $\varphi$ wybieramy tak, żeby oba warunki były spełnione - sam tangens nie wystarcza, bo nie rozróżnia ćwiartek.

Przykład 7. Zapisz $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ w postaci $R\sin(x + \varphi)$ i podaj zbiór wartości funkcji.

Krok 1. $a = 1$, $b = \sqrt{3}$, więc $R = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Krok 2. $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ i $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, czyli $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Krok 3. $f(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Sinus przyjmuje wartości od $-1$ do $1$, więc $f$ - od $-2$ do $2$.

Odpowiedź. $f(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, zbiór wartości $\langle -2;\ 2 \rangle$, okres $2\pi$. Największą wartość $2$ funkcja przyjmuje np. dla $x = \frac{\pi}{6}$.

Przykład 8. Dla $g(x) = 3\sin x - 4\cos x$ mamy $R = \sqrt{9 + 16} = 5$, więc zbiór wartości to $\langle -5;\ 5 \rangle$. Kąt $\varphi$ spełnia $\cos\varphi = \frac{3}{5}$, $\sin\varphi = -\frac{4}{5}$ - nie jest kątem z tabeli, ale do zbioru wartości nie jest potrzebny. Podobnie $\sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ta zamiana to podstawowe narzędzie do równań postaci $a\sin x + b\cos x = c$ - rozwiązujemy je w lekcji równania trygonometryczne - metody. Wykres sinusoidy $R\sin(x + \varphi)$ i jej przesunięcia omawia lekcja wykres funkcji y = A sin(Bx + C) + D.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi sin(α + β)?$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Nie jest to $\sin\alpha + \sin\beta$ - dla $30^\circ$ i $60^\circ$ lewa strona daje $1$, a suma sinusów około $1{,}37$.

Jaki jest wzór na cos(α − β)?$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. Przy różnicy kątów w cosinusie stoi plus, przy sumie - minus.

Ile wynosi sin 15°?$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588$.

Ile wynosi cos 75°?$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588$ - tyle samo co $\sin 15^\circ$, bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Jaki jest wzór na tangens sumy kątów?$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$, o ile istnieją wszystkie trzy tangensy. Gdy $\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta = 1$, mianownik się zeruje i $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Jak zapamiętać wzory na sinus i cosinus sumy? Sinus miesza funkcje i zachowuje znak: $\sin\cos \pm \cos\sin$. Cosinus nie miesza i odwraca znak: $\cos\cos \mp \sin\sin$. Wystarczy też pamiętać jeden wzór i znać parzystość cosinusa - resztę wyprowadza się w minutę.

Jak zamienić a sin x + b cos x na jeden sinus? Oblicz $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ i znajdź kąt $\varphi$, dla którego $\cos\varphi = \frac{a}{R}$ i $\sin\varphi = \frac{b}{R}$. Wtedy $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$, a zbiór wartości to $\langle -R;\ R \rangle$.

Przećwicz

• Wzory na sumę i różnicę kątów - zadania → - dokładne wartości, „zwijanie” wzorów, sinus i cosinus sumy z ćwiartek, tangens sumy, dowody tożsamości, postać $R\sin(x + \varphi)$ i kąty trójkąta.
• Na start: sin 75° i cos 75°, sin(α − β) z danych ćwiartek, √3 sin x − cos x jako jeden sinus.
• Dalej: wzory na sin 2x i cos 2x - co się dzieje, gdy $\beta = \alpha$.

Podsumowanie

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ - znak taki sam jak w nawiasie.
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ - znak odwrócony.
• $\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$, gdy istnieją wszystkie tangensy.
• Dowód: cięciwa okręgu jednostkowego ma tę samą długość przed obrotem i po nim; reszta wzorów wynika z parzystości i wzorów redukcyjnych.
• Dokładne wartości dla $15^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$ liczymy z kątów $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.
• $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$ z $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ - zbiór wartości $\langle -R;\ R \rangle$.