Funkcja f(x) = √3 sin x − cos x w postaci R sin(x + φ) - zbiór wartości i maksimum

Krok 1. a) Współczynnik R. Porównujemy z $a\sin x + b\cos x$: $a = \sqrt{3}$, $b = -1$, więc

$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.$

Krok 2. Kąt φ. Z rozwinięcia $R\sin(x + \varphi) = R\cos\varphi\sin x + R\sin\varphi\cos x$ potrzebujemy $2\cos\varphi = \sqrt{3}$ i $2\sin\varphi = -1$, czyli

$\cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\varphi = -\frac{1}{2}.$

Cosinus dodatni, sinus ujemny - kąt z IV ćwiartki: $\varphi = -\frac{\pi}{6}$. Stąd $f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Sprawdzenie: $2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos x \cdot \frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}\sin x - \cos x$.

Krok 3. b) Zbiór wartości i okres. Sinus przyjmuje wszystkie wartości z $\langle -1;\ 1\rangle$, więc $f$ - wszystkie z $\langle -2;\ 2\rangle$. Przesunięcie nie zmienia okresu: $T = 2\pi$.

Krok 4. c) Wartość największa. $f(x) = 2$ wtedy, gdy $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$:

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. d) Miejsca zerowe. $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 0$, czyli $x - \frac{\pi}{6} = k\pi$, $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$. W przedziale $\left\langle 0;\ 2\pi \right\rangle$ są dwa takie argumenty: $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{7\pi}{6}$.

Pułapka w kroku 2: z samego $\operatorname{tg}\varphi = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ można wybrać $\varphi = \frac{5\pi}{6}$ - ten kąt ma ten sam tangens, ale $\cos\frac{5\pi}{6} < 0$, więc dałby funkcję $-\sqrt{3}\sin x + \cos x$, czyli $-f(x)$.

Odpowiedź. a) $f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$; b) zbiór wartości $\langle -2;\ 2\rangle$, okres $2\pi$; c) $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; d) $x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \frac{7\pi}{6}$.