Zwijanie wzorów: sin 50° cos 10° + cos 50° sin 10° bez tablic

Żadnego z kątów $50^\circ$, $10^\circ$, $80^\circ$, $20^\circ$ nie ma w tabeli, więc liczenie „po kawałku” nie wchodzi w grę. Każde wyrażenie to jednak prawa strona jednego ze wzorów na sumę lub różnicę - czytamy wzór od prawej do lewej.

Krok 1. Rozpoznanie wzoru.

• „sin·cos + cos·sin” to $\sin(\alpha + \beta)$;
• „sin·cos − cos·sin” to $\sin(\alpha - \beta)$;
• „cos·cos − sin·sin” to $\cos(\alpha + \beta)$;
• „cos·cos + sin·sin” to $\cos(\alpha - \beta)$.

Krok 2. a) $\sin 50^\circ\cos 10^\circ + \cos 50^\circ\sin 10^\circ = \sin(50^\circ + 10^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 3. b) W cosinusie plus oznacza różnicę kątów:

$\cos 80^\circ\cos 20^\circ + \sin 80^\circ\sin 20^\circ = \cos(80^\circ - 20^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$

Krok 4. c) $\sin 70^\circ\cos 25^\circ - \cos 70^\circ\sin 25^\circ = \sin(70^\circ - 25^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Krok 5. d) Minus w cosinusie oznacza sumę kątów:

$\cos 40^\circ\cos 20^\circ - \sin 40^\circ\sin 20^\circ = \cos(40^\circ + 20^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.$

Pułapka w b) i d): przy cosinusie znak działania jest odwrócony względem znaku między kątami. Odpowiedź $\cos 100^\circ$ w b) albo $\cos 20^\circ$ w d) to typowy błąd.

Odpowiedź. a) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\frac{1}{2}$; c) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; d) $\frac{1}{2}$.