Udowodnij tożsamość sin(α + β) · sin(α − β) = sin²α − sin²β

Obie strony mają sens dla każdych $\alpha$ i $\beta$, więc dziedzina nie wymaga zastrzeżeń. Przekształcamy lewą stronę, aż dostaniemy prawą.

Krok 1. Rozwinięcie obu sinusów. Oznaczmy $p = \sin\alpha\cos\beta$ i $q = \cos\alpha\sin\beta$. Wtedy $\sin(\alpha + \beta) = p + q$ i $\sin(\alpha - \beta) = p - q$, a iloczyn to różnica kwadratów:

$L = (p + q)(p - q) = p^2 - q^2 = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta.$

Krok 2. Zamiana cosinusów na sinusy. Prawa strona zawiera tylko sinusy, więc z jedynki podstawiamy $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta$ i $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

$L = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha\sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta.$

Krok 3. Redukcja. Wyrazy $\pm\sin^2\alpha\sin^2\beta$ się znoszą:

$L = \sin^2\alpha - \sin^2\beta = P.$

Krok 4. Sprawdzenie liczbowe. Dla $\alpha = 50^\circ$ i $\beta = 20^\circ$ lewa strona to $\sin 70^\circ \cdot \sin 30^\circ \approx 0{,}9397 \cdot 0{,}5 \approx 0{,}4698$, a prawa $\sin^2 50^\circ - \sin^2 20^\circ \approx 0{,}5868 - 0{,}1170 = 0{,}4698$. Zgadza się.

Pamiętaj: w dowodzie przekształcamy jedną stronę. Nie wolno zacząć od zapisania równości i „przenoszenia” wyrazów - to dowodzi tylko, że z tezy coś wynika.

Odpowiedź. Lewa strona po rozwinięciu wzorów na sinus sumy i różnicy, różnicy kwadratów i jedynce trygonometrycznej daje $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$, co kończy dowód.