Trzeci kąt trójkąta: oblicz sin γ i cos γ, gdy cos α = 3/5 i cos β = 5/13

Krok 1. Sinusy kątów α i β. Kąty trójkąta leżą w przedziale $(0^\circ;\ 180^\circ)$, gdzie sinus jest zawsze dodatni - tu nie ma wyboru znaku:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}, \qquad \sin\beta = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}.$

Krok 2. Związek γ z sumą. Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, więc $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Ze wzorów redukcyjnych:

$\sin\gamma = \sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta), \qquad \cos\gamma = -\cos(\alpha + \beta).$

Krok 3. Sinus γ.

$\sin\gamma = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}.$

Krok 4. Cosinus γ.

$\cos\gamma = -(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) = -\left(\frac{15}{65} - \frac{48}{65}\right) = \frac{33}{65}.$

Sprawdzenie: $56^2 + 33^2 = 3136 + 1089 = 4225 = 65^2$.

Krok 5. b) Rodzaj trójkąta. Cosinusy wszystkich trzech kątów są dodatnie ($\frac{3}{5}$, $\frac{5}{13}$, $\frac{33}{65}$), więc wszystkie kąty są ostre. W przybliżeniu $\alpha \approx 53{,}13^\circ$, $\beta \approx 67{,}38^\circ$, $\gamma \approx 59{,}49^\circ$.

Pułapka: z samego $\sin\gamma = \frac{56}{65}$ nie da się rozstrzygnąć, czy $\gamma$ jest ostry, czy rozwarty - taki sinus ma też kąt $180^\circ - 59{,}49^\circ$. O rodzaju kąta decyduje znak cosinusa.

Odpowiedź. a) $\sin\gamma = \frac{56}{65}$, $\cos\gamma = \frac{33}{65}$; b) trójkąt jest ostrokątny.