Oblicz sin 75° i cos 75° ze wzorów na sumę kątów

Krok 1. Rozkład kąta. Kąt $75^\circ$ zapisujemy jako sumę kątów z tabeli: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Potrzebne wartości: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 2. Sinus sumy.

$\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$

Krok 3. Cosinus sumy. W cosinusie sumy stoi minus:

$\cos 75^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.$

Krok 4. Sprawdzenie. Podnosimy do kwadratu, korzystając z $(\sqrt{6} \pm \sqrt{2})^2 = 8 \pm 2\sqrt{12} = 8 \pm 4\sqrt{3}$:

$\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} + \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{16}{16} = 1.$

Pułapka: $\sin 75^\circ \neq \sin 45^\circ + \sin 30^\circ$ - ta suma wynosi około $1{,}21$, czyli więcej niż $1$, a sinus nigdy nie przekracza $1$.

Odpowiedź. $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$, $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588$.