Granice jednostronne funkcji - lewostronna i prawostronna

Klasa 3 liceum i technikum

Granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $a$ to liczba, do której zbliżają się wartości $f(x)$, gdy $x$ dąży do $a$ przez liczby mniejsze od $a$; granica prawostronna - gdy $x$ dąży do $a$ przez liczby większe od $a$. Zapisujemy je $\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ i $\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$. Granica (obustronna) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są równe.

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - jak obliczyć granicę funkcji w punkcie - liczyliśmy granice przez podstawienie i skracanie. Teraz zajmiemy się funkcjami, które z lewej i z prawej strony punktu zachowują się inaczej: funkcjami sklejanymi, ułamkami z wartością bezwzględną i funkcjami na końcu dziedziny.

Oznaczenia: x → a⁻ i x → a⁺

Mały znak w wykładniku mówi, z której strony podchodzimy do punktu:

Definicja Heinego wygląda tak samo jak dla zwykłej granicy - z jednym dopiskiem. Na przykład $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = g$, jeżeli dla każdego ciągu $x_n \to a$ o wyrazach większych od $a$ ciąg $f(x_n)$ dąży do $g$. Dla granicy lewostronnej bierzemy ciągi o wyrazach mniejszych od $a$.

Kiedy istnieje granica - twierdzenie

Twierdzenie. Granica $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ istnieje i jest równa $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są równe $g$.

To daje prosty sposób badania granicy wszędzie tam, gdzie wzór funkcji zmienia się w punkcie $a$:

1. oblicz granicę lewostronną (wzór obowiązujący na lewo od $a$);
2. oblicz granicę prawostronną (wzór na prawo od $a$);
3. porównaj: równe - granica istnieje; różne - granica nie istnieje.

Zwróć uwagę, że wartość $f(a)$ w tym schemacie nie występuje. Nawet jeśli $a$ należy do jednego z przedziałów, liczy się tylko zachowanie funkcji tuż obok punktu.

Funkcje sklejane

Funkcja sklejana (określona różnymi wzorami na różnych przedziałach) to najczęstsze miejsce, gdzie granice jednostronne są różne.

Przykład 1. Zbadaj granicę funkcji w punkcie $1$:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{dla } x < 1 \\ x^2 - 4x + 5 & \text{dla } x \geq 1 \end{cases}$

Krok 1. Granica lewostronna. Dla $x < 1$ obowiązuje wzór $2x + 1$, a to wielomian, więc wolno podstawić: $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Krok 2. Granica prawostronna. Dla $x > 1$ działa wzór $x^2 - 4x + 5$: $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 1 - 4 + 5 = 2$.

Krok 3. Porównanie. $3 \neq 2$.

Odpowiedź. Granica $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ nie istnieje. Wykres ma w punkcie $1$ skok o wysokości $1$, choć sama wartość $f(1) = 2$ istnieje.

Przykład 2 (parametr). Dla jakiej wartości $a$ istnieje granica funkcji w punkcie $2$?

$f(x) = \begin{cases} ax + 3 & \text{dla } x < 2 \\ x^2 - a & \text{dla } x \geq 2 \end{cases}$

Krok 1. Granica lewostronna: $\lim\limits_{x \to 2^-} (ax + 3) = 2a + 3$.

Krok 2. Granica prawostronna: $\lim\limits_{x \to 2^+} (x^2 - a) = 4 - a$.

Krok 3. Granica istnieje, gdy są równe: $2a + 3 = 4 - a$, czyli $3a = 1$, $a = \frac{1}{3}$.

Odpowiedź. Dla $a = \frac{1}{3}$; granica wynosi wtedy $4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$. Dla każdego innego $a$ granice jednostronne są różne i granica nie istnieje.

Wartość bezwzględna w ułamku

Wartość bezwzględna to w istocie funkcja sklejana: $|x - a| = x - a$ dla $x \geq a$ i $|x - a| = -(x - a)$ dla $x < a$ (zobacz wartość bezwzględną liczby). Dlatego w ułamkach z modułem granice jednostronne zwykle się różnią.

Przykład 3. Oblicz granice jednostronne $f(x) = \dfrac{|x - 3|}{x - 3}$ w punkcie $3$.

Krok 1. Z prawej ($x > 3$): $|x - 3| = x - 3$, więc $f(x) = \dfrac{x - 3}{x - 3} = 1$ i $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 1$.

Krok 2. Z lewej ($x < 3$): $|x - 3| = -(x - 3)$, więc $f(x) = -1$ i $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -1$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 3^-} f(x) = -1$, $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 1$; granica w punkcie $3$ nie istnieje.

Przykład 4. Zbadaj granicę $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{|x - 3|}$.

Krok 1. Podstawienie daje $\frac{0}{0}$. Licznik rozkładamy: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Krok 2. Z prawej ($|x - 3| = x - 3$): $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$.

Krok 3. Z lewej ($|x - 3| = -(x - 3)$): $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} = -(x + 3) \to -6$.

Odpowiedź. Granice jednostronne to $-6$ i $6$, więc granica nie istnieje.

Koniec dziedziny - pierwiastek

Funkcja $f(x) = \sqrt{x - 1}$ jest określona tylko dla $x \geq 1$. W punkcie $1$ można więc podchodzić tylko z prawej strony - na lewo od $1$ funkcji po prostu nie ma.

Przykład 5. Oblicz $\lim\limits_{x \to 1^+} \sqrt{x - 1}$ i $\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{x - 1}{\sqrt{x - 1}}$.

Krok 1. Dla $x \to 1^+$ wyrażenie pod pierwiastkiem dąży do $0$ przez wartości dodatnie, więc $\lim\limits_{x \to 1^+} \sqrt{x - 1} = \sqrt{0} = 0$.

Krok 2. W drugim przypadku wychodzi $\frac{0}{0}$. Dla $x > 1$: $x - 1 = \left(\sqrt{x - 1}\right)^2$, więc $\dfrac{x - 1}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1} \to 0$.

Odpowiedź. Obie granice prawostronne wynoszą $0$. Granicy lewostronnej nie liczymy, bo na lewo od $1$ funkcja nie jest określona. W takim punkcie - końcu dziedziny - wiele podręczników utożsamia granicę z tą jedyną możliwą granicą jednostronną.

Część całkowita - skok w każdej liczbie całkowitej

Część całkowita $\lfloor x \rfloor$ to największa liczba całkowita nie większa od $x$: $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$.

Przykład 6. Oblicz granice jednostronne funkcji $\lfloor x \rfloor$ w punkcie $2$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 2^-} \lfloor x \rfloor = 1$, $\lim\limits_{x \to 2^+} \lfloor x \rfloor = 2$, granica w punkcie $2$ nie istnieje. Tak samo jest w każdej liczbie całkowitej - wykres to „schodki”.

Zapowiedź: granice jednostronne nieskończone

Granica jednostronna nie musi być liczbą. Dla $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ przy $x \to 2$ mianownik dąży do zera, a licznik jest stały:

Z lewej strony wartości spadają poniżej każdej liczby, z prawej rosną ponad każdą. Zapisujemy $\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty$ i $\lim\limits_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty$. Jak ustalać znak takiej granicy, pokazuje lekcja o granicy niewłaściwej funkcji; prosta $x = 2$ to wtedy asymptota pionowa wykresu.

Typowe błędy

• Liczenie obu granic z jednego wzoru. W funkcji sklejanej granicę lewostronną bierzemy ze wzoru dla $x < a$, a prawostronną - ze wzoru dla $x > a$, niezależnie od tego, w którym przedziale leży sam punkt $a$.
• Mylenie granicy z wartością w punkcie sklejenia. W przykładzie 1 jest $f(1) = 2$ i granica prawostronna też wynosi $2$, ale granicy w punkcie $1$ nie ma.
• Opuszczanie modułu bez rozważenia znaku. $|x - 3| = x - 3$ tylko dla $x \geq 3$; dla $x < 3$ trzeba napisać $-(x - 3)$.
• Szukanie granicy lewostronnej poza dziedziną. Przy $\sqrt{x - 1}$ w punkcie $1$ istnieje tylko granica prawostronna.
• Pisanie „granica = ∞” bez podania strony. Dla $\frac{1}{x - 2}$ granice jednostronne mają przeciwne znaki, więc obustronna granica nie istnieje (nawet niewłaściwa).

Najczęstsze pytania

Co to jest granica jednostronna? To granica funkcji obliczona tylko dla argumentów z jednej strony punktu: lewostronna dla $x < a$ (zapis $x \to a^-$), prawostronna dla $x > a$ (zapis $x \to a^+$).

Jak obliczyć granicę lewostronną i prawostronną? Ustal, jaki wzór obowiązuje na lewo i na prawo od punktu (przy module: jaki ma znak wyrażenie w środku), a potem oblicz granicę z odpowiedniego wzoru - zwykle przez podstawienie lub skracanie.

Kiedy istnieje granica funkcji w punkcie? Wtedy i tylko wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są równe. Ich wspólna wartość jest granicą funkcji. Wartość funkcji w samym punkcie nie ma przy tym znaczenia.

Co oznacza x → 2⁻? Że $x$ zbliża się do $2$ przez liczby mniejsze od $2$, czyli z lewej strony osi: $1{,}9$, $1{,}99$, $1{,}999$ itd. Zapis $x \to 2^+$ oznacza podchodzenie przez liczby większe od $2$.

Jak obliczyć granicę funkcji z wartością bezwzględną? Rozpisz moduł z obu stron punktu: dla $x > a$ jest $|x - a| = x - a$, a dla $x < a$ jest $|x - a| = -(x - a)$. Policz granice jednostronne osobno i porównaj - często są przeciwne i granica nie istnieje.

Jak sprawdzić, czy funkcja sklejana ma granicę w punkcie sklejenia? Oblicz granicę lewostronną ze wzoru po lewej stronie punktu i prawostronną ze wzoru po prawej. Jeśli wyniki są równe, granica istnieje; jeśli wzory zawierają parametr, przyrównaj je i rozwiąż równanie.

Czy granica jednostronna może być nieskończona? Tak. Na przykład $\lim\limits_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2} = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2} = -\infty$. Takie granice wyznaczają asymptoty pionowe.

Przećwicz

• Granice jednostronne - zadania → - 7 zadań: funkcje sklejane z granicą i bez, ułamki z wartością bezwzględną, granica na końcu dziedziny pierwiastka, parametry dobrane tak, by granica istniała (także dwa naraz).
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• $x \to a^-$: argumenty mniejsze od $a$; $x \to a^+$: większe od $a$.
• Granica w punkcie istnieje $\iff$ obie jednostronne istnieją i są równe.
• Funkcja sklejana: każda granica jednostronna ze „swojego” wzoru; wartość $f(a)$ nie ma znaczenia.
• Moduł rozpisujemy osobno dla $x < a$ i $x > a$; $\frac{|x - a|}{x - a}$ ma granice $-1$ i $1$.
• Na końcu dziedziny (np. $\sqrt{x - 1}$ w punkcie $1$) istnieje tylko jedna granica jednostronna.
• Granice jednostronne mogą być nieskończone - tak powstają asymptoty pionowe.

Zobacz też

• Jak obliczyć granicę funkcji w punkcie - poprzednia lekcja: podstawienie, symbol $\frac{0}{0}$ i wyrażenie sprzężone.
• Granica funkcji w nieskończoności - następna lekcja: co dzieje się z funkcją, gdy $x \to \pm\infty$.
• Ciągłość funkcji w punkcie - granice jednostronne w definicji ciągłości i rodzajach nieciągłości.
• Granica funkcji - zestawienie definicji i metod - ściąga z całego tematu.