Suma ciągu geometrycznego - wzór na Sₙ i przykłady

Klasa 3 liceum i technikum

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q \neq 1$ wynosi $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$, a dla $q = 1$ jest równa $n \cdot a_1$. Na przykład $2 + 6 + 18 + \ldots + 1458$ (siedem wyrazów, $q = 3$) to $2 \cdot \frac{3^7 - 1}{3 - 1} = 2186$.

To szósta lekcja rozdziału ciągi. Potrzebny jest wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego$a_n = a_1 q^{\,n-1}$; dobrze też porównać ten wzór z sumą ciągu arytmetycznego.

Wyprowadzenie wzoru: odejmujemy sumę od siebie samej

Sposób Gaussa (dodawanie sumy zapisanej od końca) tu nie zadziała, bo wyrazy w kolumnach nie dają stałej sumy. Działa inny chwyt: mnożymy sumę przez $q$ i odejmujemy.

$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1}$

$q \cdot S_n = a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{\,n-1} + a_1q^n$

Prawe strony mają prawie wszystkie wyrazy wspólne - po odjęciu drugiej równości od pierwszej zostaje tylko pierwszy wyraz górnej sumy i ostatni dolnej:

$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n \quad\Longrightarrow\quad S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$

Jeśli $q \neq 1$, dzielimy przez $1 - q$:

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Dla $q = 1$ dzielić nie wolno - ale wtedy wszystkie wyrazy są równe $a_1$ i suma to po prostu $n \cdot a_1$.

Licznik i mianownik można pomnożyć przez $-1$: $\frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$. Przy $q > 1$ druga postać ma dodatnie liczby w liczniku i mianowniku, więc łatwiej nie pomylić znaków.

Przykłady obliczania sumy

Przykład 1. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $2, 6, 18, \ldots$

Krok 1. $a_1 = 2$, $q = \frac{6}{2} = 3$, $n = 7$.

Krok 2.

$S_7 = 2 \cdot \frac{3^7 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{2187 - 1}{2} = 2186$

Odpowiedź. $S_7 = 2186$. Ostatni dodawany wyraz to $a_7 = 2 \cdot 3^6 = 1458$.

Przykład 2 (iloraz ułamkowy). Oblicz $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2$.

$a_1 = 64$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 6$:

$S_6 = 64 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 128 \cdot \frac{63}{64} = 126$

Odpowiedź. $126$ (sprawdzenie dodawaniem: $64 + 32 = 96$, $+16 = 112$, $+8 = 120$, $+4 = 124$, $+2 = 126$).

Przykład 3 (iloraz ujemny). Oblicz $5 - 10 + 20 - 40 + 80 - 160$.

$a_1 = 5$, $q = -2$, $n = 6$. Przy ujemnym $q$ trzeba pilnować nawiasów: $(-2)^6 = 64$.

$S_6 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^6}{1 - (-2)} = 5 \cdot \frac{1 - 64}{3} = 5 \cdot (-21) = -105$

Odpowiedź. $-105$.

Przykład 4 ($q = 1$). Oblicz sumę dziesięciu wyrazów ciągu $4, 4, 4, \ldots$

Wzoru z ułamkiem nie da się użyć (mianownik $1 - 1 = 0$). Wszystkie wyrazy są równe, więc $S_{10} = 10 \cdot 4 = 40$.

Ziarna ryżu na szachownicy

Według starej legendy wynalazca szachów poprosił władcę o nagrodę: jedno ziarno ryżu na pierwszym polu szachownicy, dwa na drugim, cztery na trzecim i tak dalej - na każdym polu dwa razy więcej niż na poprzednim. Pól jest $64$, więc ziaren byłoby

$S_{64} = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$

To ponad $18$ trylionów ziaren. Przy wadze ok. $0{,}02$ g na ziarno to setki miliardów ton - setki razy więcej, niż wynoszą roczne zbiory ryżu na całym świecie. Tak szybko rośnie suma ciągu geometrycznego z $q > 1$: każdy kolejny wyraz jest większy od sumy wszystkich poprzednich ($2^k > 1 + 2 + \ldots + 2^{k-1} = 2^k - 1$).

Ile wyrazów trzeba dodać

Gdy suma jest dana, szukamy $n$ w wykładniku: po uproszczeniu zostaje równanie typu $q^n =$ liczba, które rozwiązujemy, zapisując liczbę jako potęgę $q$.

Przykład 5. Ile początkowych wyrazów ciągu $3, 6, 12, \ldots$ trzeba dodać, aby otrzymać $381$?

Krok 1. $a_1 = 3$, $q = 2$, więc $S_n = 3 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$.

Krok 2. $3(2^n - 1) = 381 \;\Longrightarrow\; 2^n - 1 = 127 \;\Longrightarrow\; 2^n = 128 = 2^7$.

Odpowiedź. $n = 7$ (wyrazy $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 = 381$).

Wyznaczanie ilorazu z sumy

Przykład 6. W ciągu geometrycznym $a_1 = 2$, a suma trzech początkowych wyrazów wynosi $14$. Wyznacz iloraz.

Krok 1. $S_3 = a_1 + a_1q + a_1q^2 = 2(1 + q + q^2)$. Przy trzech wyrazach prościej zapisać sumę wprost niż korzystać ze wzoru z ułamkiem.

Krok 2. $2(1 + q + q^2) = 14 \;\Longrightarrow\; q^2 + q - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; (q - 2)(q + 3) = 0$.

Odpowiedź. $q = 2$ (ciąg $2, 4, 8$) lub $q = -3$ (ciąg $2, -6, 18$). Obie sumy wynoszą $14$.

Zastosowanie: wzrost o stały procent

Jeśli wielkość co roku rośnie o $p\%$, kolejne wartości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = 1 + \frac{p}{100}$, a łączna wartość z $n$ lat to $S_n$.

Przykład 7. Firma w pierwszym roku wyprodukowała $1000$ ton towaru, a w każdym następnym o $10\%$ więcej niż w poprzednim. Ile ton wyprodukowała łącznie w ciągu $5$ lat?

Krok 1. Produkcja w kolejnych latach: $a_1 = 1000$, $q = 1{,}1$, $n = 5$.

Krok 2. $1{,}1^5 = 1{,}61051$, więc

$S_5 = 1000 \cdot \frac{1{,}1^5 - 1}{1{,}1 - 1} = 1000 \cdot \frac{0{,}61051}{0{,}1} = 6105{,}1$

Odpowiedź. $6105{,}1$ tony. Ten sam rachunek stoi za ratami kredytów i regularnym oszczędzaniem - zob. lekcję o procencie składanym, lokatach i kredytach.

Typowe błędy

• Zła liczba wyrazów. $S_n$ to suma od $a_1$ do $a_n$; w ciągu $1 + 3 + 9 + \ldots + 729$ ostatni wyraz to $3^6$, więc wyrazów jest $7$, nie $6$.
• Wzór dla $q = 1$. Ułamek ma wtedy mianownik $0$ - sumę liczymy jako $n \cdot a_1$.
• Brak nawiasu przy ujemnym $q$. $(-2)^6 = 64$, ale $-2^6 = -64$.
• Mylenie $q^n$ z $q^{\,n-1}$. W $n$-tym wyrazie jest $q^{\,n-1}$, a we wzorze na sumę $n$ wyrazów - $q^n$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć sumę ciągu geometrycznego? Dla $q \neq 1$ wzorem $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$, gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $q$ - iloraz, $n$ - liczba dodawanych wyrazów. Dla $q = 1$ suma to $n \cdot a_1$.

Jaki jest wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego?$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ albo w równoważnej postaci $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ (wygodniejszej przy $q > 1$).

Ile wynosi suma 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹?$2^n - 1$. Na przykład $1 + 2 + 4 + \ldots + 512 = 2^{10} - 1 = 1023$.

Ile ziaren ryżu jest na szachownicy?$2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$, czyli ponad $18$ trylionów - to suma $64$ wyrazów ciągu geometrycznego $1, 2, 4, \ldots$

Co zrobić, gdy iloraz ciągu wynosi 1? Wtedy wszystkie wyrazy są równe, a suma to $S_n = n \cdot a_1$. Wzoru z ułamkiem nie stosujemy, bo jego mianownik byłby zerem.

Czym różni się suma ciągu geometrycznego od sumy szeregu geometrycznego?$S_n$ to suma skończonej liczby $n$ wyrazów. Suma szeregu to granica $S_n$ przy $n \to \infty$; istnieje tylko dla $|q| < 1$ i wynosi $\frac{a_1}{1 - q}$ - zob. szereg geometryczny.

Przećwicz

• Suma ciągu geometrycznego - zadania → - 7 zadań z rozwiązaniami: suma z danym $a_1$ i $q$, iloraz ułamkowy i ujemny, liczba wyrazów z sumy, iloraz z sumy trzech wyrazów, suma mieszana (geometryczna + arytmetyczna) i oszczędzanie z rosnącą wpłatą.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q \neq 1$; $S_n = n \cdot a_1$ dla $q = 1$.
• Wzór wyprowadzamy, odejmując od $S_n$ sumę $qS_n$ - prawie wszystkie wyrazy się redukują.
• Przy $q > 1$ wygodniej liczyć $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$; przy $q < 0$ pilnujemy nawiasów w $(-q)^n$.
• Szukając $n$, sprowadzamy równanie do $q^n =$ liczba i zapisujemy liczbę jako potęgę $q$.
• Wzrost o stały procent przez $n$ okresów to suma ciągu geometrycznego z $q = 1 + \frac{p}{100}$.

Zobacz też

• Ciąg geometryczny krok po kroku - poprzednia lekcja: iloraz i wzór na $n$-ty wyraz.
• Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu - następna lekcja.
• Ciąg geometryczny - wzory, iloraz, suma - zestawienie wzorów w dziale teorii.
• Szereg geometryczny - suma i ułamki okresowe - co się dzieje, gdy dodajemy nieskończenie wiele wyrazów.