Asymptoty wykresu funkcji - pionowa, pozioma i ukośna krok po kroku

Klasa 3 liceum i technikum

Asymptota wykresu funkcji to prosta, do której wykres zbliża się nieograniczenie, gdy jego punkt oddala się w nieskończoność. Są trzy rodzaje asymptot: pionowa $x = x_0$ (wartości funkcji uciekają do $\pm\infty$, gdy $x$ zbliża się do $x_0$), pozioma $y = q$ (wartości dążą do liczby $q$, gdy $x \to +\infty$ lub $x \to -\infty$) oraz ukośna $y = ax + b$ z $a \neq 0$ (różnica między wykresem a prostą dąży do zera, gdy $x \to \pm\infty$).

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - funkcja ciągła w zbiorze - zajmowaliśmy się wykresami „bez przerw”. Teraz wykorzystamy granice jednostronne, granice w nieskończoności i granice niewłaściwe, żeby opisać, jak wykres zachowuje się „na krańcach”: przy brzegach dziedziny i daleko od początku układu. Asymptoty pionowe i poziome funkcji wymiernych znasz już z lekcji funkcja wymierna - tutaj definiujemy je przez granice, dla dowolnych funkcji, i dokładamy asymptotę ukośną.

Trzy rodzaje asymptot w jednej tabeli

Asymptoty poziome i ukośne bada się osobno w $+\infty$ i w $-\infty$. Często są takie same (funkcje wymierne), ale nie muszą - przykłady 4, 6 i 7 pokazują funkcje, które w obu nieskończonościach mają różne asymptoty. Asymptota pozioma to szczególny przypadek ukośnej (dla $a = 0$), dlatego w jednej nieskończoności funkcja ma co najwyżej jedną z nich.

Asymptota pionowa

Prosta $x = x_0$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji $f$, gdy przy $x$ zbliżającym się do $x_0$ (choćby z jednej strony) wartości $f(x)$ uciekają do $+\infty$ albo do $-\infty$. Rozróżniamy:

• asymptotę obustronną - obie granice jednostronne są nieskończone;
• asymptotę lewostronną albo prawostronną - nieskończona jest tylko jedna z nich (na przykład dlatego, że funkcja jest określona tylko po jednej stronie $x_0$).

Funkcja ciągła w punkcie $x_0$ ma tam granicę równą $f(x_0)$, czyli skończoną, więc asymptoty pionowej szukamy tylko w punktach, które do dziedziny nie należą (albo w punktach nieciągłości). Wielomiany, ciągłe na całym $\mathbb{R}$, nie mają asymptot pionowych nigdy. Nie każdy punkt spoza dziedziny daje jednak asymptotę - trzeba policzyć granicę.

Przykład 1. Wyznacz asymptoty pionowe wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,\ 2\}$. Kandydaci na asymptoty: $x = -1$ i $x = 2$.

Krok 2. Skracamy. Licznik to $(x - 2)(x + 2)$, więc dla $x \in D_f$:

$f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x + 2}{x + 1}.$

Krok 3. Punkt $x = 2$. Granica jest skończona:

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{4}{3}.$

W $x = 2$ nie ma asymptoty - wykres ma tam tylko „dziurę” (pusty punkt $(2,\ \tfrac{4}{3})$).

Krok 4. Punkt $x = -1$. Licznik dąży do $1$, mianownik $x + 1$ do zera. Znak mianownika: dla $x > -1$ jest dodatni, dla $x < -1$ ujemny, więc

$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -1^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty.$

Odpowiedź. Jedyna asymptota pionowa to $x = -1$ (obustronna). Przy okazji: w obu nieskończonościach $f(x) \to 1$, więc $y = 1$ jest asymptotą poziomą.

Przykład 2 (asymptota jednostronna). Zbadaj funkcję $f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x + 2}}$.

Dziedzina to $x + 2 > 0$, czyli $D_f = (-2;\ +\infty)$. Funkcja jest określona tylko na prawo od $-2$, więc liczymy tylko granicę prawostronną: gdy $x \to -2^+$, pierwiastek dąży do $0$ przez wartości dodatnie i

$\lim_{x \to -2^+} \frac{3}{\sqrt{x + 2}} = +\infty.$

Odpowiedź. Prosta $x = -2$ jest asymptotą pionową prawostronną. Granica lewostronna nie ma sensu - na lewo od $-2$ funkcja nie istnieje. Dodatkowo $\frac{3}{\sqrt{x + 2}} \to 0$ przy $x \to +\infty$, więc $y = 0$ jest asymptotą poziomą w $+\infty$ (w $-\infty$ nie badamy niczego).

Asymptota pozioma

Prosta $y = q$ jest asymptotą poziomą wykresu w $+\infty$, gdy $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = q$, i w $-\infty$, gdy $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = q$. Liczymy więc dwie granice w nieskończoności - dokładnie tak, jak w lekcji o granicy funkcji w nieskończoności.

Przykład 3 (wykres przecina asymptotę). Wyznacz asymptoty funkcji $f(x) = \dfrac{3x^2 - 2x}{x^2 + 1}$ i sprawdź, czy wykres ma wspólne punkty z asymptotą poziomą.

Krok 1. Asymptoty pionowe. $x^2 + 1 > 0$ dla każdego $x$, więc $D_f = \mathbb{R}$ i funkcja jest ciągła - asymptot pionowych nie ma.

Krok 2. Granice w nieskończoności. Dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3.$

Asymptotą poziomą (w obu nieskończonościach) jest $y = 3$.

Krok 3. Punkty wspólne. Rozwiązujemy $f(x) = 3$: $3x^2 - 2x = 3x^2 + 3$, czyli $x = -\tfrac{3}{2}$.

Odpowiedź. Asymptota pozioma $y = 3$, pionowych brak. Wykres przecina asymptotę w punkcie $(-\tfrac{3}{2};\ 3)$. Różnica $f(x) - 3 = \frac{-2x - 3}{x^2 + 1}$ jest dodatnia dla $x < -\tfrac{3}{2}$ i ujemna dla $x > -\tfrac{3}{2}$, więc w $-\infty$ wykres zbliża się do asymptoty od góry, a w $+\infty$ od dołu.

To ważna obserwacja: wykres może przecinać asymptotę poziomą (i ukośną), nawet wiele razy. Asymptota mówi tylko, co dzieje się „daleko”, a nie, że prostej nie wolno dotknąć.

Przykład 4 (różne asymptoty w $+\infty$ i $-\infty$). Wyznacz asymptoty poziome funkcji $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Krok 1. $x \to +\infty$. Wyłączamy $x^2$ spod pierwiastka: $\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$. Dla $x > 0$ mamy $|x| = x$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{2}{1} = 2.$

Krok 2. $x \to -\infty$. Teraz $x < 0$, więc $|x| = -x$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{2}{-1} = -2.$

Odpowiedź. $y = 2$ jest asymptotą poziomą w $+\infty$, a $y = -2$ w $-\infty$. Kto napisze $\sqrt{x^2} = x$ także dla ujemnych $x$, dostanie dwa razy $2$ - to najczęstszy błąd przy pierwiastkach.

Asymptota ukośna - skąd biorą się wzory na a i b

Prosta $y = ax + b$ jest asymptotą ukośną w $+\infty$, gdy odległość pionowa między wykresem a prostą znika:

$\lim_{x \to +\infty} \big( f(x) - ax - b \big) = 0.$

Z tego warunku od razu wynikają wzory. Jeśli $f(x) - ax - b \to 0$, to tym bardziej $f(x) - ax \to b$ - stąd wzór na $b$. Dzieląc $f(x) - ax - b$ przez $x$, dostajemy $\frac{f(x)}{x} - a - \frac{b}{x} \to 0$, a ponieważ $\frac{b}{x} \to 0$, to $\frac{f(x)}{x} \to a$ - stąd wzór na $a$:

$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to +\infty} \big( f(x) - ax \big).$

Działa to też w drugą stronę: jeśli obie granice istnieją i są skończone, prosta $y = ax + b$ jest asymptotą. Gdy $a = 0$, wychodzi asymptota pozioma $y = b$. Gdy którakolwiek granica jest nieskończona albo nie istnieje - asymptoty ukośnej (w tej nieskończoności) nie ma.

Przykład 5 (funkcja wymierna - dwie metody). Wyznacz asymptoty funkcji $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 4}{x - 1}$.

Krok 1. Asymptota pionowa. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Licznik w $x = 1$ wynosi $1 - 3 + 4 = 2 \neq 0$, więc

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{2}{0^-} = -\infty,$

i $x = 1$ jest asymptotą pionową obustronną.

Krok 2. Asymptota ukośna - dzielenie wielomianów. Dzielimy licznik przez mianownik: $x^2 - 3x + 4 = (x - 1)(x - 2) + 2$, więc

$f(x) = x - 2 + \frac{2}{x - 1}.$

Ułamek $\frac{2}{x - 1}$ dąży do zera przy $x \to \pm\infty$, czyli $f(x) - (x - 2) \to 0$. Asymptota ukośna: $y = x - 2$, w obu nieskończonościach.

Krok 3. Sprawdzenie wzorami.

$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 - x} = 1, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} - x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2x + 4}{x - 1} = -2.$

Odpowiedź. Asymptota pionowa $x = 1$ i ukośna $y = x - 2$ (asymptoty poziomej brak).

Dla funkcji wymiernej decyduje różnica stopni licznika i mianownika:

Przykład 6 (funkcja z pierwiastkiem - dwie różne asymptoty ukośne). Wyznacz asymptoty funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$.

Krok 1. Dziedzina i asymptoty pionowe. Wyróżnik trójmianu $x^2 + 2x + 2$ jest ujemny ($4 - 8 = -4$), więc trójmian jest zawsze dodatni, $D_f = \mathbb{R}$, a funkcja jest ciągła - asymptot pionowych nie ma.

Krok 2. $x \to +\infty$, współczynnik $a$. Dla $x > 0$:

$a = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1.$

Krok 3. $x \to +\infty$, wyraz $b$. To symbol $\infty - \infty$, więc mnożymy przez sprzężenie:

$b = \lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x + 2} - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1} = 1.$

W $+\infty$ asymptotą jest $y = x + 1$.

Krok 4. $x \to -\infty$. Teraz $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, więc

$a = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x \sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x} = -1, \qquad b = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x + 2} + x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2} - x}.$

Dzielimy licznik i mianownik przez $-x > 0$: licznik dąży do $-2$, mianownik do $1 + 1 = 2$, więc $b = -1$.

Odpowiedź. W $+\infty$ asymptota $y = x + 1$, w $-\infty$ asymptota $y = -x - 1$. To nie przypadek: $f(x) = \sqrt{(x + 1)^2 + 1}$, a dla dużych $|x + 1|$ jedynka pod pierwiastkiem przestaje mieć znaczenie, więc $f(x) \approx |x + 1|$.

Przykład 7 (pozioma w jedną stronę, ukośna w drugą). Zbadaj w nieskończonościach funkcję $f(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}$.

Krok 1. $x \to +\infty$. $a = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right) = 2$, a $b = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 1} - x \right) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = 0$. Asymptota ukośna $y = 2x$.

Krok 2. $x \to -\infty$. Mnożymy przez sprzężenie:

$\lim_{x \to -\infty} \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} - x} = 0,$

bo mianownik dąży do $+\infty$ (dla $x < 0$ oba składniki są dodatnie).

Odpowiedź. W $+\infty$ asymptota ukośna $y = 2x$, w $-\infty$ asymptota pozioma $y = 0$.

Przykład 8 (kiedy asymptoty ukośnej nie ma). Zbadaj funkcję $f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x}$.

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, a licznik w zerze wynosi $1$, więc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ i $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ - asymptota pionowa $x = 0$. Dalej

$a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \left( x + \frac{1}{x^2} \right) = \pm\infty.$

Odpowiedź. Granica $a$ jest nieskończona, więc asymptoty ukośnej (ani poziomej) nie ma. Wykres $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ dla dużych $|x|$ zachowuje się jak parabola, a nie jak prosta.

Schemat wyznaczania asymptot

1. Wyznacz dziedzinę. Zapisz punkty, które do niej nie należą, i końce przedziałów dziedziny.
2. Asymptoty pionowe. W każdym takim punkcie policz granice jednostronne (tylko z tej strony, z której funkcja jest określona). Asymptota jest tam, gdzie choć jedna wychodzi nieskończona. Granica skończona oznacza dziurę albo zwykły koniec wykresu, nie asymptotę.
3. Asymptoty poziome. Policz $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ (jeśli dziedzina sięga tak daleko). Wynik skończony $q$ daje asymptotę $y = q$.
4. Asymptoty ukośne. Tam, gdzie granica z punktu 3 jest nieskończona, policz $a = \lim \frac{f(x)}{x}$. Gdy $a$ jest skończone i różne od zera, policz $b = \lim (f(x) - ax)$. Dla funkcji wymiernej szybciej podzielić wielomiany.
5. Zapisz odpowiedź osobno dla $+\infty$ i $-\infty$, jeśli asymptoty się różnią.

Przykład 9 (pełny schemat). Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - 4}$.

Krok 1. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, więc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$.

Krok 2. Asymptoty pionowe. Licznik w $x = 2$ wynosi $8$, w $x = -2$ wynosi $-8$. Mianownik $x^2 - 4$ jest dodatni dla $|x| > 2$ i ujemny dla $|x| < 2$:

Proste $x = 2$ i $x = -2$ są asymptotami pionowymi obustronnymi.

Krok 3. Asymptoty poziome. Stopień licznika jest większy, $\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ - poziomych brak.

Krok 4. Asymptota ukośna. $x^3 = x(x^2 - 4) + 4x$, więc $f(x) = x + \dfrac{4x}{x^2 - 4}$, a ułamek dąży do zera. Wzorami: $a = \lim \frac{x^3}{x^3 - 4x} = 1$, $b = \lim \left( \frac{x^3}{x^2 - 4} - x \right) = \lim \frac{4x}{x^2 - 4} = 0$.

Odpowiedź. Asymptoty pionowe $x = -2$ i $x = 2$, asymptota ukośna $y = x$ (w obu nieskończonościach). Wykres przecina ją w punkcie $(0,\ 0)$, bo tam ułamek $\frac{4x}{x^2 - 4}$ się zeruje.

Typowe błędy

• „Każde miejsce zerowe mianownika to asymptota”. Nie - po skróceniu może zostać dziura (przykład 1, punkt $x = 2$). Zawsze licz granicę.
• „Wykres nie może przeciąć asymptoty”. Asymptoty poziomej i ukośnej - może (przykłady 3 i 9). Asymptoty pionowej wykres funkcji wymiernej nie przecina, bo $x_0$ nie należy do dziedziny.
• $\sqrt{x^2} = x$ także przy $x \to -\infty$. Poprawnie $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ dla $x < 0$. Bez tego gubi się druga asymptota (przykłady 4 i 6).
• Badanie tylko $+\infty$. Asymptoty w $+\infty$ i $-\infty$ mogą się różnić - licz obie strony.
• Asymptota ukośna i pozioma naraz w tej samej nieskończoności. To niemożliwe: pozioma to ukośna z $a = 0$, a granica $a$ jest jedna.
• Liczenie $b$ przed sprawdzeniem $a$. Gdy $a$ jest nieskończone (przykład 8), asymptoty ukośnej nie ma i $b$ nie ma sensu.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć asymptotę ukośną? Policz $a = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$, a gdy wyjdzie liczba różna od zera - także $b = \lim\limits_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$. Asymptota to $y = ax + b$. Dla funkcji wymiernej z licznikiem o jeden stopień wyższym wystarczy podzielić licznik przez mianownik - iloraz to właśnie $ax + b$.

Jak wyznaczyć asymptoty funkcji? Wyznacz dziedzinę, policz granice jednostronne w punktach spoza dziedziny (asymptoty pionowe), granice w $+\infty$ i $-\infty$ (asymptoty poziome), a gdy te są nieskończone - współczynniki $a$ i $b$ asymptoty ukośnej. Wyniki zapisz osobno dla każdej nieskończoności.

Kiedy funkcja ma asymptotę pionową? Gdy w pewnym punkcie $x_0$ choć jedna granica jednostronna jest równa $+\infty$ albo $-\infty$. Zwykle dzieje się to w miejscu zerowym mianownika, w którym licznik jest różny od zera, albo na brzegu dziedziny pierwiastka w mianowniku.

Jak obliczyć asymptotę poziomą? Policz granicę funkcji przy $x \to +\infty$ i przy $x \to -\infty$. Jeśli wychodzi liczba $q$, prosta $y = q$ jest asymptotą poziomą w tej nieskończoności. Dla funkcji wymiernej o równych stopniach licznika i mianownika $q$ to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.

Czy wykres funkcji może przecinać asymptotę? Asymptotę poziomą lub ukośną - tak, nawet wiele razy; na przykład wykres $\frac{3x^2 - 2x}{x^2 + 1}$ przecina asymptotę $y = 3$ w punkcie $(-1{,}5;\ 3)$. Asymptota opisuje tylko zachowanie wykresu daleko od początku układu.

Ile asymptot może mieć funkcja? Pionowych - dowolnie wiele, nawet nieskończenie wiele (tangens). Poziomych lub ukośnych - najwyżej dwie: jedną w $+\infty$ i jedną w $-\infty$.

Czy funkcja może mieć jednocześnie asymptotę poziomą i ukośną? Tak, ale w różnych nieskończonościach. Funkcja $x + \sqrt{x^2 + 1}$ ma asymptotę poziomą $y = 0$ w $-\infty$ i ukośną $y = 2x$ w $+\infty$. W jednej nieskończoności może być tylko jedna z nich.

Kiedy funkcja wymierna ma asymptotę ukośną? Gdy stopień licznika jest dokładnie o $1$ większy niż stopień mianownika. Przy różnicy stopni równej $2$ lub więcej asymptoty ukośnej nie ma, a przy liczniku stopnia nie większego niż mianownik jest asymptota pozioma.

Przećwicz

• Asymptoty wykresu funkcji - zadania → - 7 zadań: asymptoty pionowe ze znakami granic jednostronnych, dziura zamiast asymptoty, asymptota ukośna z dzielenia i ze wzorów na $a$ i $b$, punkt przecięcia wykresu z asymptotą, funkcje z pierwiastkiem o różnych asymptotach w $\pm\infty$ i parametry dobrane do asymptoty.
• Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

• Asymptota pionowa $x = x_0$: choć jedna granica jednostronna w $x_0$ jest nieskończona; szukaj jej w punktach spoza dziedziny, ale zawsze licz granicę (może wyjść dziura).
• Asymptota pozioma $y = q$: $\lim f(x) = q$ przy $x \to +\infty$ lub $x \to -\infty$.
• Asymptota ukośna $y = ax + b$: $a = \lim \frac{f(x)}{x}$, $b = \lim (f(x) - ax)$, obie granice skończone.
• Dla funkcji wymiernej z licznikiem o stopień wyższym asymptotę ukośną daje dzielenie wielomianów.
• $+\infty$ i $-\infty$ badamy osobno; przy pierwiastkach $\sqrt{x^2} = |x|$.
• Wykres może przecinać asymptotę poziomą i ukośną.

Zobacz też

• Funkcja ciągła w zbiorze - poprzednia lekcja: własność Darboux i miejsca zerowe.
• Pochodna funkcji w punkcie - następna lekcja: iloraz różnicowy i nachylenie stycznej.
• Granica funkcji - definicja i metody obliczania - zwięzłe zestawienie definicji granic, ciągłości i asymptot.
• Funkcja wymierna krok po kroku - dziedzina, dziury po skróceniu i asymptoty funkcji wymiernych bez rachunku granic.
• Funkcja homograficzna - najprostsza funkcja z asymptotą pionową i poziomą.