Funkcja ciągła w zbiorze - własność Darboux i szukanie miejsc zerowych

Q: Czy funkcja 1/x jest ciągła?

Tak. Jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny R setminus \0\. Nie jest natomiast ciągła w żadnym przedziale zawierającym zero, bo zero do dziedziny nie należy.

Q: Co to jest własność Darboux?

To twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła w przedziale langle a;\ brangle przyjmuje każdą wartość leżącą między f(a) a f(b). Nazywa się je też twierdzeniem o wartości pośredniej.

Q: Jak uzasadnić, że równanie ma rozwiązanie w przedziale?

Przenieś wszystko na jedną stronę, by otrzymać równanie f(x) = 0. Sprawdź, że f jest ciągła w langle a;\ brangle i że f(a) · f(b) < 0. Z własności Darboux wynika wtedy, że istnieje c ∈ (a;\ b), dla którego f(c) = 0.

Q: Na czym polega metoda bisekcji?

Na wielokrotnym połowieniu przedziału, na którego końcach funkcja ma różne znaki. W każdym kroku liczymy wartość w środku i zostawiamy tę połowę, na której znaki dalej są różne. Po n krokach pierwiastek jest znany z dokładnością do b - a/2^n.

Q: Czy funkcja ciągła ma zawsze wartość największą?

W przedziale domkniętym - tak (twierdzenie Weierstrassa). W przedziale otwartym albo nieograniczonym może jej nie mieć, np. f(x) = x w (0;\ 1).

Klasa 3 liceum i technikum

Funkcja ciągła w zbiorze - najważniejsze fakty

Ciągłość w zbiorze: $f$ jest ciągła w zbiorze $A \subset D_f$ , gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru $A$ . Funkcja ciągła w całej dziedzinie to po prostu funkcja ciągła.

Przedział domknięty: $f$ jest ciągła w $\langle a;\ b\rangle$ , gdy jest ciągła w każdym punkcie $(a;\ b)$ , prawostronnie ciągła w $a$ i lewostronnie ciągła w $b$ .

Działania: suma, różnica, iloczyn, iloraz (gdy mianownik $\neq 0$ ) i złożenie funkcji ciągłych są funkcjami ciągłymi.

Własność Darboux: jeśli $f$ jest ciągła w $\langle a;\ b\rangle$ , a $u$ leży między $f(a)$ i $f(b)$ , to istnieje $c \in (a;\ b)$ , dla którego $f(c) = u$ .

$f \text{ ciągła w } \langle a;\ b\rangle \ \text{ i } \ f(a) \cdot f(b) < 0 \ \Longrightarrow \ \text{istnieje } c \in (a;\ b): \ f(c) = 0$

Funkcja jest ciągła w zbiorze, gdy jest ciągła w każdym jego punkcie; funkcja ciągła w przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ przyjmuje każdą wartość pośrednią między $f(a)$ i $f(b)$ (własność Darboux). Najważniejszy wniosek: jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają różne znaki, to równanie $f(x) = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(a;\ b)$ .

To kolejna lekcja rozdziału elementy analizy matematycznej. W poprzedniej - ciągłość funkcji w punkcie - sprawdzaliśmy warunek $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ w jednym miejscu. Teraz patrzymy na całe przedziały i pokazujemy, co z ciągłości wynika: istnienie miejsc zerowych i sposób, żeby je przybliżyć.

Funkcja ciągła w przedziale i w zbiorze

Funkcja jest ciągła w zbiorze $A$ , gdy jest ciągła w każdym punkcie $A$ . Gdy $A$ to cała dziedzina, mówimy krótko: funkcja ciągła.

Przy przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ końce traktujemy osobno - funkcja może nie być określona na zewnątrz przedziału, więc wymagamy tylko ciągłości z jednej strony: prawostronnej w $a$ i lewostronnej w $b$ . Na przykład $f(x) = \sqrt{x}$ jest ciągła w $\langle 0;\ +\infty)$ , choć na lewo od zera w ogóle nie istnieje.

Przykład 1. Wyznacz zbiór, w którym funkcja jest ciągła:

$f(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{dla } x < 1 \\ x^2 - 1 & \text{dla } 1 \leq x < 2 \\ 4 - x & \text{dla } x \geq 2 \end{cases}$

Krok 1. Punkty spoza sklejeń. Każdy kawałek jest wielomianem, więc $f$ jest ciągła we wszystkich punktach różnych od $1$ i $2$ .

Krok 2. Punkt $x_0 = 1$ . $\lim\limits_{x \to 1^-} (1 - x) = 0$ , $\lim\limits_{x \to 1^+} (x^2 - 1) = 0$ , $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Funkcja jest ciągła w $1$ .

Krok 3. Punkt $x_0 = 2$ . $\lim\limits_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 3$ , $\lim\limits_{x \to 2^+} (4 - x) = 2$ , $f(2) = 4 - 2 = 2$ . Granice są różne - skok. Wartość jest równa granicy prawostronnej, więc $f$ jest w $2$ prawostronnie ciągła.

f(x) = 1 − x dla x < 1, x² − 1 dla 1 ≤ x < 2, 4 − x dla x ≥ 2. W punkcie 1 kawałki się stykają, w punkcie 2 jest skok z 3 na 2.

Odpowiedź. $f$ jest ciągła w zbiorze $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ , czyli w $(-\infty;\ 2) \cup (2;\ +\infty)$ . Jest też ciągła w przedziale $\langle 2;\ +\infty)$ , bo na jego lewym końcu wystarcza ciągłość prawostronna - ale nie jest ciągła w przedziale $\langle 1;\ 2\rangle$ , bo w punkcie $2$ brakuje ciągłości lewostronnej.

Jakie funkcje są ciągłe

Nie trzeba za każdym razem liczyć granic. Wszystkie funkcje elementarne poznane w szkole są ciągłe w swoich dziedzinach:

Funkcja	Przykład	Ciągła w
wielomian	x³ − 4x + 2	ℝ
funkcja wymierna	(x + 1)/(x − 3)	ℝ ∖ {3} (cała dziedzina)
pierwiastek	√x	⟨0; +∞)
wartość bezwzględna	\|x\|	ℝ
wykładnicza	2ˣ	ℝ
logarytmiczna	log₂ x	(0; +∞)
sinus, cosinus	sin x	ℝ
tangens	tg x	ℝ bez punktów π/2 + kπ (cała dziedzina)

Do tego dochodzą twierdzenia o działaniach. Jeśli $f$ i $g$ są ciągłe w $x_0$ , to w $x_0$ ciągłe są także:

suma i różnica $f + g$ , $f - g$ ;
iloczyn $f \cdot g$ ;
iloraz $\frac{f}{g}$ , o ile $g(x_0) \neq 0$ ;
złożenie $g(f(x))$ , jeśli $f$ jest ciągła w $x_0$ , a $g$ - w punkcie $f(x_0)$ .

Wynikają one wprost z twierdzeń o działaniach na granicach. Dzięki nim ciągłość „skomplikowanej” funkcji odczytujemy z jej budowy.

Przykład 2. Uzasadnij, że $f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x - 3}$ jest ciągła w swojej dziedzinie.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 + 1 > 0$ dla każdego $x$ , więc pierwiastek istnieje zawsze; mianownik zeruje się dla $x = 3$ . Zatem $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Krok 2. Budowa funkcji. Licznik to złożenie wielomianu $x^2 + 1$ (ciągły w $\mathbb{R}$ ) z pierwiastkiem (ciągły w $\langle 0;\ +\infty)$ ) - jest ciągły w $\mathbb{R}$ . Mianownik $x - 3$ jest wielomianem.

Krok 3. Iloraz. Iloraz funkcji ciągłych jest ciągły wszędzie tam, gdzie mianownik jest różny od zera, czyli w całej dziedzinie.

Odpowiedź. $f$ jest ciągła w $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ , czyli jest funkcją ciągłą.

Funkcja ciągła, choć wykres jest „rozerwany”

Intuicja „rysujemy bez odrywania ołówka” dotyczy przedziałów, nie całej dziedziny. Wykres $y = \frac{1}{x}$ składa się z dwóch gałęzi, a mimo to funkcja $\frac{1}{x}$ jest ciągła - w każdym punkcie swojej dziedziny $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ granica równa się wartości. Zero do dziedziny nie należy, więc nie jest punktem nieciągłości.

To ma znaczenie przy własności Darboux: założenie brzmi „ $f$ jest ciągła w całym przedziale $\langle a;\ b\rangle$ ”, więc cały przedział musi leżeć w dziedzinie.

f(x) = (x + 2)/(x − 1): f(0) < 0 i f(2) > 0, a w przedziale (0; 2) nie ma miejsca zerowego. Funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale nie na całym przedziale ⟨0; 2⟩ - liczba 1 do dziedziny nie należy.

Funkcja $f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ jest ciągła, a $f(0) = -2 < 0$ i $f(2) = 4 > 0$ . Mimo to w przedziale $(0;\ 2)$ nie ma miejsca zerowego (jedyne jest $x = -2$ ). Sprzeczności nie ma: liczba $1 \in (0;\ 2)$ nie należy do dziedziny, więc $f$ nie jest ciągła w $\langle 0;\ 2\rangle$ i z własności Darboux nie wolno tu skorzystać.

Własność Darboux - wartości pośrednie

Twierdzenie (własność Darboux). Jeśli funkcja $f$ jest ciągła w przedziale $\langle a;\ b\rangle$ i $f(a) \neq f(b)$ , to dla każdej liczby $u$ leżącej między $f(a)$ a $f(b)$ istnieje taki punkt $c \in (a;\ b)$ , że $f(c) = u$ .

Własność Darboux: funkcja ciągła na ⟨a; b⟩ przyjmuje każdą wartość u między f(a) i f(b). Takich punktów c może być kilka - tu są trzy.

Mówiąc obrazowo: funkcja ciągła nie może „przeskoczyć” żadnej wartości - żeby przejść z wysokości $f(a)$ na wysokość $f(b)$ , musi minąć każdą wysokość pośrednią. Twierdzenie gwarantuje istnienie punktu $c$ , ale nie mówi, ile jest takich punktów ani jak je znaleźć. Dowód (metodą połowienia przedziału) jest na stronie twierdzenie o wartości pośredniej.

Bez ciągłości twierdzenie przestaje działać: funkcja $\lfloor x \rfloor$ z poprzedniej lekcji ma $\lfloor 0 \rfloor = 0$ i $\lfloor 1 \rfloor = 1$ , a nigdy nie przyjmuje wartości $\frac{1}{2}$ .

Wniosek: szukanie miejsc zerowych

Najczęściej używamy szczególnego przypadku $u = 0$ . Jeśli $f(a)$ i $f(b)$ mają różne znaki, czyli $f(a) \cdot f(b) < 0$ , to zero leży między nimi i:

$f(a) \cdot f(b) < 0 \ \Longrightarrow \ \text{równanie } f(x) = 0 \text{ ma rozwiązanie w } (a;\ b)$

Przykład 3. Uzasadnij, że równanie $x^3 - 3x + 1 = 0$ ma trzy rozwiązania, i wskaż przedziały długości $1$ , w których leżą.

Krok 1. Ciągłość. $f(x) = x^3 - 3x + 1$ jest wielomianem, więc jest ciągła w $\mathbb{R}$ i w każdym przedziale możemy korzystać z własności Darboux.

Krok 2. Tabela wartości w liczbach całkowitych.

x	−2	−1	0	1	2
f(x)	−1	3	1	−1	3
znak	−	+	+	−	+

Krok 3. Zmiany znaku. Znak zmienia się trzy razy: między $-2$ a $-1$ , między $0$ a $1$ oraz między $1$ a $2$ . W każdym z przedziałów $(-2;\ -1)$ , $(0;\ 1)$ , $(1;\ 2)$ jest więc co najmniej jedno rozwiązanie.

Krok 4. Więcej nie ma. Wielomian stopnia $3$ ma co najwyżej $3$ pierwiastki.

Odpowiedź. Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania, po jednym w przedziałach $(-2;\ -1)$ , $(0;\ 1)$ i $(1;\ 2)$ .

Przykład 4 (punkt przecięcia wykresów). Uzasadnij, że wykresy funkcji $y = \frac{2}{x}$ i $y = x^2 - 1$ przecinają się w punkcie o odciętej z przedziału $(1;\ 2)$ .

Krok 1. Jedna funkcja zamiast dwóch. Wykresy przecinają się tam, gdzie $\frac{2}{x} = x^2 - 1$ , czyli tam, gdzie zeruje się różnica $h(x) = x^2 - 1 - \frac{2}{x}$ .

Krok 2. Ciągłość na całym przedziale. $h$ jest określona dla $x \neq 0$ , a $0 \notin \langle 1;\ 2\rangle$ , więc $h$ jest ciągła w $\langle 1;\ 2\rangle$ (różnica wielomianu i funkcji wymiernej).

Krok 3. Znaki na końcach. $h(1) = 1 - 1 - 2 = -2 < 0$ oraz $h(2) = 4 - 1 - 1 = 2 > 0$ .

Odpowiedź. $h(1) \cdot h(2) < 0$ , więc istnieje $c \in (1;\ 2)$ , dla którego $h(c) = 0$ , czyli $\frac{2}{c} = c^2 - 1$ - w tym punkcie wykresy się przecinają.

Metoda bisekcji - przybliżanie miejsca zerowego

Własność Darboux mówi tylko, że rozwiązanie istnieje. Ale da się z niej zrobić algorytm. Skoro pierwiastek leży w $(a;\ b)$ , liczymy wartość w środku $m = \frac{a + b}{2}$ i wybieramy tę połówkę, na której końcach znaki są różne. Każdy krok zmniejsza przedział o połowę, więc po $n$ krokach ma on długość $\frac{b - a}{2^n}$ .

Przykład 5. Przybliż rozwiązanie równania $x^3 + x - 3 = 0$ z dokładnością do $0{,}01$ .

Krok 1. Przedział startowy. $f(x) = x^3 + x - 3$ jest ciągła, $f(1) = -1 < 0$ i $f(2) = 7 > 0$ , więc pierwiastek leży w $(1;\ 2)$ . Funkcja jest rosnąca (suma dwóch funkcji rosnących i stałej), więc pierwiastek jest tylko jeden.

Bisekcja dla f(x) = x³ + x − 3: f(1) < 0 < f(2), więc pierwiastek leży w (1; 2). Środki 1,5 i 1,25 dają wartości dodatnie, więc pierwiastek jest w (1; 1,25).

Krok 2. Połowienie. W tabeli $f(m)$ zaokrąglono do czterech miejsc po przecinku; nowy przedział to ta połowa, na której końcach $f$ ma różne znaki.

Krok	Przedział	Środek m	f(m)	Nowy przedział
1	(1; 2)	1,5	1,8750 (+)	(1; 1,5)
2	(1; 1,5)	1,25	0,2031 (+)	(1; 1,25)
3	(1; 1,25)	1,125	−0,4512 (−)	(1,125; 1,25)
4	(1,125; 1,25)	1,1875	−0,1379 (−)	(1,1875; 1,25)
5	(1,1875; 1,25)	1,21875	0,0290 (+)	(1,1875; 1,21875)
6	(1,1875; 1,21875)	1,203125	−0,0553 (−)	(1,203125; 1,21875)
7	(1,203125; 1,21875)	1,2109375	−0,0134 (−)	(1,2109375; 1,21875)

Krok 3. Dokładność. Po siedmiu krokach przedział ma długość $\frac{1}{2^7} = \frac{1}{128} < 0{,}01$ . Każda liczba z tego przedziału różni się od pierwiastka o mniej niż $0{,}01$ .

Odpowiedź. $x \approx 1{,}21$ (dokładniej pierwiastek to $1{,}2134\ldots$ ).

Bisekcja jest wolna (jedna cyfra dziesiętna co ok. $3{,}3$ kroku), ale niezawodna - wymaga tylko ciągłości i różnych znaków na końcach. Szybsze metody, jak metoda Newtona, korzystają z pochodnej, którą poznamy w dalszej części rozdziału.

Twierdzenie Weierstrassa - zapowiedź

Ciągłość w przedziale domkniętym daje jeszcze jedną ważną własność.

Twierdzenie Weierstrassa. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ osiąga w nim swoją wartość największą i najmniejszą.

Oba założenia są potrzebne:

przedział musi być domknięty - $f(x) = x$ w przedziale otwartym $(0;\ 1)$ przyjmuje wartości dowolnie bliskie $0$ i $1$ , ale żadnej z nich nie osiąga, więc nie ma ani wartości największej, ani najmniejszej;
funkcja musi być ciągła - $f(x) = \frac{1}{x}$ w $(0;\ 1\rangle$ rośnie nieograniczenie przy $x \to 0^+$ , więc wartości największej nie ma.

Jak tę wartość największą i najmniejszą znaleźć (wartości na końcach + punkty, w których zeruje się pochodna) - pokażemy w lekcji największa i najmniejsza wartość funkcji.

Typowe błędy

„1/x jest nieciągła, bo wykres ma przerwę”. Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie - przerwa jest w miejscu, którego w dziedzinie nie ma.
Własność Darboux na przedziale z dziurą w dziedzinie. Z $f(0) \cdot f(2) < 0$ dla $f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ nic nie wynika, bo $f$ nie jest ciągła w $\langle 0;\ 2\rangle$ . Zawsze najpierw sprawdź, że cały przedział leży w dziedzinie.
Wniosek w drugą stronę. Z $f(a) \cdot f(b) > 0$ nie wynika, że pierwiastka nie ma - $x^2 - 1$ ma $f(-2) \cdot f(2) > 0$ , a dwa pierwiastki w $(-2;\ 2)$ .
Liczenie pierwiastków z samych zmian znaku. Zmiana znaku daje „co najmniej jeden” pierwiastek. Żeby powiedzieć „dokładnie”, potrzebny jest dodatkowy argument (stopień wielomianu, monotoniczność).
Ciągłość w przedziale domkniętym a skok na końcu. Na końcach przedziału wymagamy tylko ciągłości jednostronnej - funkcja ze skokiem w punkcie $b$ może być ciągła w $\langle a;\ b\rangle$ , jeśli jest w $b$ lewostronnie ciągła.

Najczęstsze pytania

Co to znaczy, że funkcja jest ciągła w przedziale? Że jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. W przedziale domkniętym $\langle a;\ b\rangle$ na końcach wystarcza ciągłość jednostronna: prawostronna w $a$ i lewostronna w $b$ .

Kiedy funkcja jest ciągła? Gdy jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Ciągłe są wszystkie wielomiany, funkcje wymierne, pierwiastki, wartość bezwzględna, funkcje wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne, a także ich sumy, iloczyny, ilorazy i złożenia.

Czy funkcja 1/x jest ciągła? Tak. Jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Nie jest natomiast ciągła w żadnym przedziale zawierającym zero, bo zero do dziedziny nie należy.

Co to jest własność Darboux? To twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła w przedziale $\langle a;\ b\rangle$ przyjmuje każdą wartość leżącą między $f(a)$ a $f(b)$ . Nazywa się je też twierdzeniem o wartości pośredniej.

Jak uzasadnić, że równanie ma rozwiązanie w przedziale? Przenieś wszystko na jedną stronę, by otrzymać równanie $f(x) = 0$ . Sprawdź, że $f$ jest ciągła w $\langle a;\ b\rangle$ i że $f(a) \cdot f(b) < 0$ . Z własności Darboux wynika wtedy, że istnieje $c \in (a;\ b)$ , dla którego $f(c) = 0$ .

Na czym polega metoda bisekcji? Na wielokrotnym połowieniu przedziału, na którego końcach funkcja ma różne znaki. W każdym kroku liczymy wartość w środku i zostawiamy tę połowę, na której znaki dalej są różne. Po $n$ krokach pierwiastek jest znany z dokładnością do $\frac{b - a}{2^n}$ .

Czy funkcja ciągła ma zawsze wartość największą? W przedziale domkniętym - tak (twierdzenie Weierstrassa). W przedziale otwartym albo nieograniczonym może jej nie mieć, np. $f(x) = x$ w $(0;\ 1)$ .

Przećwicz

Funkcja ciągła w zbiorze - zadania → - 7 zadań: ciągłość funkcji wymiernej w dziedzinie i w przedziale, funkcja sklejana z pierwiastkiem, uzasadnianie istnienia pierwiastka, liczba rozwiązań równania, bisekcja, punkt przecięcia wykresów i parametr w warunku Darboux.
Cały zestaw: granica i pochodna funkcji - zadania →

Podsumowanie

Funkcja jest ciągła w zbiorze, gdy jest ciągła w każdym jego punkcie; w $\langle a;\ b\rangle$ na końcach wystarcza ciągłość jednostronna.
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach; suma, różnica, iloczyn, iloraz i złożenie funkcji ciągłych są ciągłe.
$\frac{1}{x}$ jest funkcją ciągłą - „przerwa” w wykresie leży poza dziedziną.
Własność Darboux: funkcja ciągła w $\langle a;\ b\rangle$ przyjmuje każdą wartość między $f(a)$ a $f(b)$ .
$f(a) \cdot f(b) < 0$ i ciągłość w $\langle a;\ b\rangle$ gwarantują miejsce zerowe w $(a;\ b)$ .
Bisekcja przybliża to miejsce zerowe - każdy krok połowi przedział.
Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła w przedziale domkniętym ma w nim wartość największą i najmniejszą.

Zobacz też

Ciągłość funkcji w punkcie - poprzednia lekcja: trzy warunki ciągłości i rodzaje nieciągłości.
Asymptoty wykresu funkcji - następna lekcja: asymptota pionowa, pozioma i ukośna.
Twierdzenie o wartości pośredniej - dowód własności Darboux metodą bisekcji i jej zaskakujące zastosowania.
Granica funkcji - zwięzłe zestawienie definicji granicy i ciągłości.
Miejsce zerowe funkcji - jak szukać miejsc zerowych algebraicznie i z wykresu.