Granica i pochodna funkcji - zadania
Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju. Wybierz typ, który chcesz przećwiczyć.
Powtórz teorię: Granica i pochodna funkcji →
- Obliczanie granic funkcji 10 zadań Granica funkcji w punkcie: odczytywanie z wykresu, podstawienie, symbol 0/0 (rozkład na czynniki, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera, wyrażenie sprzężone, ułamek piętrowy), granica z parametrami, granice w nieskończoności i jednostronne - krok po kroku.
- Granice jednostronne funkcji 7 zadań Granica lewostronna i prawostronna: funkcje sklejane, ułamki z wartością bezwzględną, granica na końcu dziedziny pierwiastka i parametry, dla których granica istnieje (także dwa naraz) - krok po kroku.
- Granica funkcji w nieskończoności 7 zadań Iloraz wielomianów w +∞ i −∞, pierwiastek i pułapka √(x²) = |x|, różnica z pierwiastkiem i wyrażenie sprzężone (także przy x → −∞), dwie różne granice w obu nieskończonościach oraz parametry, dla których granica ma zadaną wartość - krok po kroku.
- Granica niewłaściwa funkcji 7 zadań Liczba przez 0⁺, granice jednostronne nieskończone i tabelka znaków mianownika, symbol 0/0 zamieniający się w nieskończoność, wielomiany i ilorazy w ±∞, pierwiastek w liczniku i parametr decydujący o znaku granicy - krok po kroku.
- Ciągłość funkcji w punkcie 7 zadań Badanie ciągłości funkcji w punkcie: funkcje sklejane, nieciągłość usuwalna i skok, ciągłość jednostronna przy wartości bezwzględnej, wyznaczanie jednego i dwóch parametrów oraz część całkowita - krok po kroku.
- Funkcja ciągła w zbiorze 7 zadań Ciągłość funkcji w dziedzinie i w przedziale, funkcja sklejana z pierwiastkiem, własność Darboux - istnienie i liczba rozwiązań równania, metoda bisekcji, punkt przecięcia wykresów i parametr - krok po kroku.
- Asymptoty wykresu funkcji 7 zadań Asymptoty pionowe ze znakami granic jednostronnych, dziura zamiast asymptoty, asymptota ukośna z dzielenia wielomianów i ze wzorów na a i b, punkt wspólny wykresu z asymptotą, różne asymptoty w ±∞ dla funkcji z pierwiastkiem i parametry dobrane do asymptoty - krok po kroku.
- Pochodna z definicji 7 zadań Prędkość średnia i chwilowa, iloraz różnicowy wielomianu, definicja w postaci x → x₀, pochodna funkcji 3/(x + 1) i pierwiastka przez sprzężenie, parametry sklejenia funkcji różniczkowalnej i brak pochodnej |x² − 4| w ostrzu - krok po kroku.
- Obliczanie pochodnych 9 zadań Pochodna wielomianu, pierwiastka i potęgi o wykładniku ujemnym i wymiernym, pochodna iloczynu i ilorazu, ułamek z pierwiastkiem w mianowniku, druga pochodna, współczynniki funkcji wyznaczone z wartości pochodnej oraz pochodna z definicji - krok po kroku.
- Pochodna funkcji złożonej 7 zadań Reguła łańcuchowa: potęga funkcji liniowej, złożenia f(g(x)) i g(f(x)), pierwiastek z trójmianu, ułamek z potęgą w mianowniku, funkcja złożona w iloczynie i w ilorazie oraz parametr wyznaczony z wartości pochodnej - krok po kroku.
- Równanie stycznej 9 zadań Równanie stycznej do wykresu w punkcie, styczne równoległe i prostopadłe do danej prostej, styczne poziome, styczna nachylona pod danym kątem, styczne poprowadzone z punktu spoza wykresu i pole trójkąta odciętego przez styczną - krok po kroku.
- Monotoniczność i ekstrema 12 zadań Przedziały monotoniczności wielomianów i funkcji wymiernych z tabelą znaków pochodnej (także gdy mianownik zmienia znak), parametr, dla którego funkcja jest monotoniczna w ℝ, dowód monotoniczności i liczba rozwiązań równania, ekstrema lokalne (także z parametrem i z pierwiastkiem), pułapka f'(x₀) = 0 bez ekstremum oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym - krok po kroku.
- Wartość największa i najmniejsza w przedziale 7 zadań Wartość największa i najmniejsza funkcji w przedziale domkniętym: punkt krytyczny poza przedziałem, funkcja bez punktów krytycznych, wielomian czwartego stopnia z wartością największą na końcu, funkcja wymierna i z pierwiastkiem, parametr wyznaczany z wartości najmniejszej oraz zbiór wartości na prostej i na półprostej otwartej - krok po kroku.
- Zadania optymalizacyjne 10 zadań Pudełko z blachy i pudełko bez pokrywy, puszka o najmniejszym polu, stożek wpisany w kulę, prostokąt pod parabolą, punkt paraboli najbliżej punktu, największy iloczyn x²·y przy danej sumie, najtańsze ogrodzenie, kabel przez rzekę i styczna odcinająca trójkąt o najmniejszym polu - krok po kroku.
