Podział odcinka w danym stosunku i wektory równoległe - wzór i przykłady

Klasa 3 liceum i technikum

Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $m : n$, jeśli leży na tym odcinku i $|AP| : |PB| = m : n$. Wtedy wektor $\overrightarrow{AP}$ to ułamek $\frac{m}{m+n}$ wektora $\overrightarrow{AB}$, a współrzędne punktu $P$ są średnią ważoną współrzędnych końców: koniec $B$ ma wagę $m$, koniec $A$ - wagę $n$. Środek odcinka to szczególny przypadek $1 : 1$, a środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka.

To pierwsza lekcja rozdziału wektory i geometria analityczna. Współrzędne wektora, jego długość, dodawanie wektorów i mnożenie przez liczbę znasz z lekcji wektor w układzie współrzędnych, a długość i środek odcinka - z lekcji odcinek w układzie współrzędnych. Tutaj używamy wektorów jako narzędzia: do równoległoboków, równoległości, współliniowości i podziału odcinka w dowolnym stosunku.

Wektory w jednym akapicie - przypomnienie

Wektor o początku $A = (x_A, y_A)$ i końcu $B = (x_B, y_B)$ ma współrzędne $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]$ - to „przepis na przejście” z $A$ do $B$. Dwa wektory są równe, gdy mają te same współrzędne (ten sam kierunek, zwrot i długość), a przeciwne, gdy ich współrzędne różnią się znakiem: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Najważniejszy wniosek dla tej lekcji: punkt to punkt startowy plus wektor, czyli $B = A + \overrightarrow{AB}$ - dodajemy współrzędne punktu i wektora.

Wektory równe i równoległobok

Czworokąt $ABCD$ (wierzchołki w tej kolejności) jest równoległobokiem dokładnie wtedy, gdy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - przeciwległe boki są równe i równoległe, a strzałki idą w tę samą stronę. Stąd brakujący wierzchołek: $D = A + \overrightarrow{BC}$.

Przykład 1. Punkty $A = (-1, 0)$, $B = (3, 1)$ i $C = (2, 4)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku. Wyznacz czwarty wierzchołek - wszystkie możliwości.

Krok 1. Ustal, który bok jest przekątną. Jeśli kolejność wierzchołków nie jest podana, czwarty wierzchołek może leżeć naprzeciw każdego z trzech danych punktów. Są więc trzy równoległoboki.

Krok 2. Równoległobok $ABCD_1$ - z równości $\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{BC} = [-1, 3]$:

$D_1 = A + \overrightarrow{BC} = (-1 - 1,\ 0 + 3) = (-2, 3).$

Krok 3. Równoległobok $AD_2BC$ (przekątna $AB$) - z $\overrightarrow{AD_2} = \overrightarrow{CB} = [1, -3]$:

$D_2 = A + \overrightarrow{CB} = (-1 + 1,\ 0 - 3) = (0, -3).$

Krok 4. Równoległobok $ABD_3C$ (przekątna $BC$) - z $\overrightarrow{CD_3} = \overrightarrow{AB} = [4, 1]$:

$D_3 = C + \overrightarrow{AB} = (2 + 4,\ 4 + 1) = (6, 5).$

Odpowiedź. $D = (-2, 3)$ dla równoległoboku $ABCD$; pozostałe możliwości to $(0, -3)$ i $(6, 5)$. Gdy zadanie mówi „równoległobok $ABCD$”, kolejność jest ustalona i odpowiedź jest jedna.

Wektory równoległe

Wektory niezerowe $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego: $\vec{v} = k\,\vec{u}$. Dla $k > 0$ mają zgodne zwroty, dla $k < 0$ - przeciwne. Zamiast szukać $k$, wygodniej sprawdzić jeden warunek, w którym nie ma dzielenia (działa także, gdy któraś współrzędna jest zerem):

$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.$

Wyrażenie $u_1 v_2 - u_2 v_1$ to wyznacznik pary wektorów, oznaczany $\det(\vec{u}, \vec{v})$. Wróci w lekcji o polu trójkąta i wielokąta, bo jego wartość bezwzględna to pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach - a pole zero znaczy właśnie, że wektory leżą na jednej prostej.

Przykład 2. Czy wektory $\vec{u} = [2, -3]$ i $\vec{v} = [-6, 9]$ są równoległe?

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \cdot 9 - (-3) \cdot (-6) = 18 - 18 = 0.$

Są równoległe, i to o przeciwnych zwrotach, bo $\vec{v} = -3\,\vec{u}$.

Przykład 3. Dla jakich $m$ wektory $\vec{u} = [m, 4]$ i $\vec{v} = [3, m + 4]$ są równoległe? Kiedy mają zgodne zwroty?

Krok 1. Warunek równoległości.

$m(m + 4) - 4 \cdot 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 + 4m - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (m + 6)(m - 2) = 0.$

Krok 2. Zwroty. Dla $m = 2$: $\vec{u} = [2, 4]$, $\vec{v} = [3, 6] = \frac{3}{2}\vec{u}$ - zwroty zgodne. Dla $m = -6$: $\vec{u} = [-6, 4]$, $\vec{v} = [3, -2]$, czyli $\vec{u} = -2\,\vec{v}$ - zwroty przeciwne.

Odpowiedź. Wektory są równoległe dla $m = 2$ i $m = -6$; zgodne zwroty mają tylko dla $m = 2$.

Współliniowość trzech punktów

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ są równoległe, czyli $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$. W odróżnieniu od metody z równaniem kierunkowym prostej nie trzeba wyznaczać równania i nie ma kłopotu z prostymi pionowymi.

Przykład 4. Sprawdź, czy punkty $A = (-1, -2)$, $B = (1, 1)$, $C = (5, 7)$ są współliniowe, i wyznacz $m$, dla którego punkt $D = (m, 10)$ leży na prostej $AB$.

Krok 1. Wektory. $\overrightarrow{AB} = [2, 3]$, $\overrightarrow{AC} = [6, 9]$, więc $\det = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 6 = 0$ - punkty leżą na jednej prostej (i $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$).

Krok 2. Parametr. $\overrightarrow{AD} = [m + 1, 12]$, a warunek $2 \cdot 12 - 3(m + 1) = 0$ daje $21 - 3m = 0$, czyli $m = 7$.

Odpowiedź. Punkty są współliniowe; $D = (7, 10)$ leży na prostej $AB$.

Podział odcinka w danym stosunku

Niech punkt $P$ leży na odcinku $AB$ i $|AP| : |PB| = m : n$. Cały odcinek ma $m + n$ „części”, z czego $m$ przypada na $AP$. Wektory $\overrightarrow{AP}$ i $\overrightarrow{AB}$ mają ten sam kierunek i zwrot, więc

$\overrightarrow{AP} = \frac{m}{m+n}\,\overrightarrow{AB}.$

Dodajemy ten wektor do punktu $A$ i porządkujemy:

$P = A + \frac{m}{m+n}(B - A) = \frac{n}{m+n}\,A + \frac{m}{m+n}\,B.$

Każda współrzędna punktu $P$ to średnia ważona współrzędnych końców. Waga końca $B$ to $m$ (liczba przy $A$ w stosunku!) - im większa część $AP$, tym bliżej punktu $B$ leży $P$. Dla $m = n = 1$ wychodzi znany wzór na środek odcinka.

Przykład 5. Podziel odcinek o końcach $A = (-2, 1)$ i $B = (7, 7)$ na trzy równe części.

Krok 1. Wektor $\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{AB} = [9, 6]$, więc jedna trzecia to $[3, 2]$.

Krok 2. Punkty podziału. Idziemy od $A$ krokami $[3, 2]$:

$P = A + [3, 2] = (1, 3), \qquad Q = P + [3, 2] = (4, 5).$

Kontrola: $Q + [3, 2] = (7, 7) = B$. Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $1 : 2$, a $Q$ - w stosunku $2 : 1$.

Dla tego samego odcinka zestawienie kilku stosunków (ułamek $\frac{m}{m+n}$ mówi, jaką część drogi od $A$ do $B$ trzeba przejść):

Przykład 6. Wyznacz punkt $P$, który dzieli odcinek o końcach $A = (1, -3)$ i $B = (6, 7)$ w stosunku $|AP| : |PB| = 3 : 2$.

Krok 1. Wagi. $m = 3$, $n = 2$, $m + n = 5$. Koniec $B$ dostaje wagę $3$, koniec $A$ - wagę $2$.

Krok 2. Wzór.

$P = \left(\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 6}{5},\ \frac{2 \cdot (-3) + 3 \cdot 7}{5}\right) = \left(\frac{20}{5},\ \frac{15}{5}\right) = (4, 3).$

Krok 3. Kontrola wektorami. $\overrightarrow{AP} = [3, 6]$ i $\overrightarrow{PB} = [2, 4]$ - wektory są równoległe i zgodnie skierowane, a ich długości mają się jak $3 : 2$.

Odpowiedź. $P = (4, 3)$.

Brakujący koniec odcinka

Ten sam wzór działa w drugą stronę: gdy znamy punkt podziału i jeden koniec, odtwarzamy drugi. Najprościej przez wektory - bez rozwiązywania równań.

Przykład 7. Punkt $P = (2, 1)$ leży na odcinku $AB$, gdzie $A = (-4, -2)$, i $|AP| : |PB| = 3 : 1$. Wyznacz punkt $B$.

Krok 1. Zależność wektorów. $\overrightarrow{AP}$ to $\frac{3}{4}$ wektora $\overrightarrow{AB}$, więc $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\,\overrightarrow{AP}$.

Krok 2. Rachunek. $\overrightarrow{AP} = [6, 3]$, zatem $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}[6, 3] = [8, 4]$ i

$B = A + \overrightarrow{AB} = (-4 + 8,\ -2 + 4) = (4, 2).$

Krok 3. Kontrola. $\overrightarrow{PB} = [2, 1]$, a $\overrightarrow{AP} = [6, 3] = 3\,\overrightarrow{PB}$ - stosunek $3 : 1$ się zgadza.

Odpowiedź. $B = (4, 2)$.

Środek ciężkości trójkąta

Środkowa trójkąta łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie $G$ - środku ciężkości - który dzieli każdą z nich w stosunku $2 : 1$, licząc od wierzchołka. Z wzoru na podział odcinka wynika jego współrzędna: jeśli $M$ jest środkiem boku $AB$, to

$G = C + \frac{2}{3}\,\overrightarrow{CM} = \frac{1}{3}C + \frac{2}{3} \cdot \frac{A + B}{2} = \frac{A + B + C}{3}.$

Środek ciężkości to więc średnia arytmetyczna wierzchołków - osobno dla $x$ i dla $y$.

Przykład 8. Wyznacz środek ciężkości trójkąta $A = (-3, -1)$, $B = (5, 1)$, $C = (1, 6)$ i sprawdź, że dzieli środkową $CM$ w stosunku $2 : 1$.

Krok 1. Średnia wierzchołków.

$G = \left(\frac{-3 + 5 + 1}{3},\ \frac{-1 + 1 + 6}{3}\right) = (1, 2).$

Krok 2. Kontrola na środkowej. Środek boku $AB$ to $M = (1, 0)$, więc $\overrightarrow{CM} = [0, -6]$ i $C + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM} = (1, 6 - 4) = (1, 2) = G$. Odcinek $CG$ ma długość $4$, a $GM$ - $2$.

Odpowiedź. $G = (1, 2)$.

Punkt na przedłużeniu odcinka

Jeśli punkt leży na prostej $AB$, ale poza odcinkiem, też zapisujemy go jako $A + t\,\overrightarrow{AB}$ - tyle że $t > 1$ (za punktem $B$) albo $t < 0$ (przed punktem $A$).

Przykład 9. Odcinek $AB$, gdzie $A = (1, 2)$ i $B = (3, 3)$, przedłużono poza punkt $B$ do punktu $P$ tak, że $|BP| = 2\,|AB|$. Wyznacz $P$.

Od $A$ do $P$ jest $|AB| + 2|AB| = 3|AB|$, więc $\overrightarrow{AP} = 3\,\overrightarrow{AB} = 3[2, 1] = [6, 3]$ i $P = (1 + 6,\ 2 + 3) = (7, 5)$.

Odpowiedź. $P = (7, 5)$.

Typowe błędy

• Zamienione wagi. Przy $|AP| : |PB| = m : n$ liczba $m$ stoi przy współrzędnych punktu $B$, nie $A$. Kontrola zdroworozsądkowa: przy stosunku $3 : 1$ punkt $P$ musi leżeć bliżej $B$.
• Stosunek części do całości. $|AP| : |PB| = 2 : 3$ to co innego niż $|AP| : |AB| = 2 : 3$. W pierwszym przypadku $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, w drugim - $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
• Równoległe to nie to samo co równe. Wektory $[2, 4]$ i $[-1, -2]$ są równoległe, ale mają przeciwne zwroty i różne długości. W równoległoboku potrzebna jest równość $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, nie sama równoległość.
• Kolejność wierzchołków w równoległoboku. W $ABCD$ boki to $AB$, $BC$, $CD$, $DA$; z $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ (zamiast $\overrightarrow{DC}$) wychodzi czworokąt z przeciętymi bokami.
• Środek ciężkości z dwóch wierzchołków. $G$ to średnia trzech punktów; średnia dwóch to środek boku.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć współrzędne punktu dzielącego odcinek w danym stosunku? Jeśli $|AP| : |PB| = m : n$, to $P = \left(\frac{n x_A + m x_B}{m+n}, \frac{n y_A + m y_B}{m+n}\right)$. Równoważnie: oblicz wektor $\overrightarrow{AB}$, pomnóż go przez $\frac{m}{m+n}$ i dodaj do punktu $A$.

Co znaczy, że punkt dzieli odcinek w stosunku 2 : 3? Że leży na odcinku i jego odległość od pierwszego końca ma się do odległości od drugiego końca jak $2 : 3$. Odcinek składa się wtedy z $5$ równych części: $2$ przed punktem i $3$ za nim, więc punkt leży w $\frac{2}{5}$ drogi od pierwszego końca.

Jak sprawdzić, czy wektory są równoległe? Oblicz $u_1 v_2 - u_2 v_1$. Jeśli wynik jest równy zeru, wektory są równoległe (jeden jest wielokrotnością drugiego). Znak liczby $k$ w $\vec{v} = k\vec{u}$ mówi, czy zwroty są zgodne, czy przeciwne.

Jak sprawdzić wektorami, czy trzy punkty leżą na jednej prostej? Wyznacz wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ i sprawdź, czy są równoległe: $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ oznacza, że punkty są współliniowe.

Jak obliczyć środek ciężkości trójkąta? Dodaj współrzędne trzech wierzchołków i podziel przez $3$, osobno dla $x$ i dla $y$. Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka.

Jak wyznaczyć czwarty wierzchołek równoległoboku? Dla równoległoboku $ABCD$ skorzystaj z równości wektorów $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$: $D = A + \overrightarrow{BC} = A + C - B$. Gdy kolejność wierzchołków nie jest podana, są trzy rozwiązania.

Przećwicz

• Podział odcinka i wektory równoległe - zadania → - punkt dzielący odcinek w danym stosunku, podział na równe części, wektory równoległe z parametrem, współliniowość, brakujący koniec odcinka, dwusieczna kąta i środek ciężkości.
• Na start: punkt dzielący odcinek w stosunku 2 : 3, wektory równoległe z parametrem, trzeci wierzchołek ze środka ciężkości.
• Dalej: iloczyn skalarny i kąt między wektorami - jak z współrzędnych wektorów odczytać kąt i prostopadłość.

Podsumowanie

• $|AP| : |PB| = m : n$ znaczy $\overrightarrow{AP} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$; współrzędne $P$ to średnia ważona końców z wagą $m$ przy $B$ i $n$ przy $A$.
• Podział na $k$ równych części: krok $\frac{1}{k}\overrightarrow{AB}$ dodawany kolejno od punktu $A$.
• Środek ciężkości trójkąta to średnia wierzchołków i dzieli środkowe w stosunku $2 : 1$ od wierzchołka.
• Wektory są równoległe, gdy $u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$; trzy punkty są współliniowe, gdy $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$.
• $ABCD$ jest równoległobokiem, gdy $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$; bez ustalonej kolejności trzy punkty dają trzy równoległoboki.

Zobacz też

• Wektor w układzie współrzędnych - współrzędne i długość wektora, dodawanie i mnożenie przez liczbę.
• Odcinek w układzie współrzędnych - długość i środek odcinka, czyli podział w stosunku $1 : 1$.
• Twierdzenie Talesa - geometryczne źródło podziału odcinka w danym stosunku.
• Wektory i geometria analityczna - spis lekcji rozdziału.