Pole trójkąta i wielokąta ze współrzędnych wierzchołków - wyznacznik i wzór Gaussa

Klasa 3 liceum i technikum

Pole trójkąta o wierzchołkach $A$, $B$, $C$ jest równe połowie wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$. Wystarczą więc współrzędne wierzchołków: nie trzeba liczyć długości boków, wysokości ani kątów. Ten sam wyznacznik bez połówki daje pole równoległoboku, a jego zerowanie się oznacza, że trzy punkty leżą na jednej prostej. Dla dowolnego wielokąta wzór uogólnia się do wzoru Gaussa, zwanego też wzorem sznurowadłowym.

W klasie drugiej pole trójkąta w układzie współrzędnych liczyliśmy z wysokości: równanie boku, odległość wierzchołka od prostej i dopiero wtedy $\frac{1}{2}ah$. To dobra metoda, ale wymaga trzech osobnych rachunków. Wyznacznik robi to samo w jednej linijce. Potrzebne będą współrzędne wektora i warunek równoległości wektorów z lekcji o podziale odcinka w danym stosunku.

Wyznacznik pary wektorów

Dla wektorów $\vec u = [u_1, u_2]$ i $\vec v = [v_1, v_2]$ liczba

$\det(\vec u, \vec v) = u_1 v_2 - u_2 v_1$

nazywa się wyznacznikiem tej pary wektorów. Liczymy ją „na krzyż”: iloczyn pierwszej współrzędnej $\vec u$ i drugiej współrzędnej $\vec v$ minus iloczyn drugiej współrzędnej $\vec u$ i pierwszej współrzędnej $\vec v$. Przykład:

$\det\big([3, 1], [1, 4]\big) = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 11.$

Co oznacza wyznacznik. Jego wartość bezwzględna to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach $\vec u$ i $\vec v$ (zaczepionych w jednym punkcie). Znak mówi o kolejności: wyznacznik jest dodatni, gdy obrót od $\vec u$ do $\vec v$ o kąt mniejszy niż $180^\circ$ odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, i ujemny, gdy zgodnie z nim. Zamiana wektorów miejscami zmienia znak: $\det(\vec v, \vec u) = -\det(\vec u, \vec v)$. Wyznacznik równy zeru oznacza, że wektory są równoległe (albo któryś jest zerowy) - „równoległobok” jest wtedy spłaszczony do odcinka.

Skąd się bierze wzór na pole trójkąta

Weźmy trójkąt $A = (1, 1)$, $B = (6, 2)$, $C = (3, 5)$ i opiszmy na nim prostokąt o bokach równoległych do osi. Prostokąt ma wymiary $5 \times 4$, a poza trójkątem zostają trzy trójkąty prostokątne, których pola łatwo policzyć z przyprostokątnych.

$P = 20 - \frac{5 \cdot 1}{2} - \frac{2 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 3}{2} = 20 - 2{,}5 - 4 - 4{,}5 = 9.$

Teraz to samo ogólnie. Przesuńmy trójkąt tak, by $A$ trafił do początku układu. Wtedy $B = (a, b)$ i $C = (c, d)$, czyli $\overrightarrow{AB} = [a, b]$ i $\overrightarrow{AC} = [c, d]$. Przy układzie jak na rysunku ($0 \le c \le a$, $0 \le b \le d$) prostokąt ma pole $ad$, a trzy trójkąty w rogach mają pola $\frac{ab}{2}$, $\frac{cd}{2}$ i $\frac{(a - c)(d - b)}{2}$:

$P = ad - \frac{ab}{2} - \frac{cd}{2} - \frac{(a - c)(d - b)}{2} = ad - \frac{ab + cd + ad - ab - cd + bc}{2} = \frac{ad - bc}{2}.$

To dokładnie $\frac{1}{2}\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$. Przy innym położeniu wierzchołków rachunek wygląda podobnie, tylko wyznacznik może wyjść ujemny - stąd wartość bezwzględna we wzorze. Dla naszego trójkąta: $\overrightarrow{AB} = [5, 1]$, $\overrightarrow{AC} = [2, 4]$, $\det = 5 \cdot 4 - 1 \cdot 2 = 18$, więc $P = 9$ - tak jak z prostokąta.

Druga droga: przez sinus. Pole trójkąta to $\frac{1}{2}|\vec u||\vec v|\sin\varphi$, gdzie $\varphi$ to kąt między wektorami. Z iloczynu skalarnego mamy $|\vec u||\vec v|\cos\varphi = u_1v_1 + u_2v_2$, a po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej wychodzi tożsamość

$|\vec u|^2|\vec v|^2\sin^2\varphi = (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2) - (u_1v_1 + u_2v_2)^2 = (u_1v_2 - u_2v_1)^2.$

Zatem $|\vec u||\vec v|\sin\varphi = |\det(\vec u, \vec v)|$ i znowu dostajemy ten sam wzór.

Pole trójkąta ze współrzędnych - przykład krok po kroku

Przykład 1. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (-3, -2)$, $B = (4, 1)$, $C = (0, 5)$.

Krok 1. Wektory z jednego wierzchołka. Oba wektory muszą wychodzić z tego samego punktu:

$\overrightarrow{AB} = [4 - (-3),\ 1 - (-2)] = [7, 3], \qquad \overrightarrow{AC} = [0 - (-3),\ 5 - (-2)] = [3, 7].$

Krok 2. Wyznacznik.

$\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 7 \cdot 7 - 3 \cdot 3 = 49 - 9 = 40.$

Krok 3. Pole. $P = \frac{1}{2} \cdot |40| = 20$.

Kontrola wzorem Herona. Boki: $|AB| = \sqrt{58}$, $|AC| = \sqrt{58}$, $|BC| = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}$. Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość z $A$ ma długość $\sqrt{58 - 8} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, a pole $\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 20$. Zgadza się - ale ile więcej rachunków!

Przykład 2. Gdy jeden wierzchołek leży w początku układu, wektory to po prostu współrzędne pozostałych wierzchołków. Trójkąt $O = (0, 0)$, $P = (5, 2)$, $Q = (-1, 4)$:

$P_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2}\left|5 \cdot 4 - 2 \cdot (-1)\right| = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11.$

Kolejność wierzchołków i znak wyznacznika

W przykładzie 1 kolejność $A \to B \to C$ obiega trójkąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i wyznacznik wyszedł dodatni. Gdybyśmy wzięli wektory w odwrotnej kolejności, $\det\left(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}\right) = 3 \cdot 3 - 7 \cdot 7 = -40$. Pole jest oczywiście to samo, dlatego we wzorze stoi wartość bezwzględna. Znak ma za to swoje zastosowanie: pozwala sprawdzić, po której stronie prostej $AB$ leży punkt $C$ - dla wszystkich punktów po jednej stronie wyznacznik ma ten sam znak.

Pole równoległoboku

Równoległobok $ABCD$ składa się z dwóch przystających trójkątów $ABD$ i $CDB$, więc jego pole to podwojone pole trójkąta, czyli wyznacznik bez połówki.

Przykład 3. Punkty $A = (-2, 1)$, $B = (3, 0)$ i $D = (0, 4)$ są wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz $C$ i pole równoległoboku.

Krok 1. Wierzchołek $C$. W równoległoboku $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = [2, 3]$, więc $C = (3 + 2,\ 0 + 3) = (5, 3)$.

Krok 2. Pole. $\overrightarrow{AB} = [5, -1]$, $\overrightarrow{AD} = [2, 3]$:

$P = \left|5 \cdot 3 - (-1) \cdot 2\right| = |15 + 2| = 17.$

Czy trzy punkty leżą na jednej prostej?

Trzy punkty są współliniowe dokładnie wtedy, gdy „trójkąt” o tych wierzchołkach ma pole zero, czyli gdy $\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 0$. To szybsze niż wyznaczanie równania prostej i podstawianie trzeciego punktu.

Przykład 4. Czy punkty $A = (-1, -4)$, $B = (2, 2)$, $C = (5, 8)$ leżą na jednej prostej?

$\overrightarrow{AB} = [3, 6], \quad \overrightarrow{AC} = [6, 12], \quad \det = 3 \cdot 12 - 6 \cdot 6 = 0.$

Odpowiedź: tak, punkty są współliniowe. Gdyby zamiast $C$ był punkt $(5, 7)$, wyszłoby $3 \cdot 11 - 6 \cdot 6 = -3 \ne 0$ i punkty tworzyłyby trójkąt o polu $1{,}5$.

Wierzchołek, dla którego trójkąt ma dane pole

Wyznacznik jest wyrażeniem liniowym względem współrzędnych trzeciego wierzchołka, więc warunek „pole równe $P$” prowadzi do prostego równania z wartością bezwzględną.

Przykład 5. Dane są punkty $A = (1, -1)$ i $B = (5, 1)$. Na osi $OY$ znajdź taki punkt $C$, by trójkąt $ABC$ miał pole $7$.

Krok 1. Zmienna. $C = (0, m)$, więc $\overrightarrow{AB} = [4, 2]$ i $\overrightarrow{AC} = [-1, m + 1]$.

Krok 2. Wyznacznik. $\det = 4(m + 1) - 2 \cdot (-1) = 4m + 6$.

Krok 3. Równanie. $\frac{1}{2}|4m + 6| = 7$, czyli $|2m + 3| = 7$:

$2m + 3 = 7 \ \Rightarrow\ m = 2 \qquad\text{lub}\qquad 2m + 3 = -7 \ \Rightarrow\ m = -5.$

Odpowiedź: $C = (0, 2)$ albo $C = (0, -5)$.

Dlaczego dwa rozwiązania? Przy stałej podstawie $AB$ pole zależy tylko od wysokości, więc wszystkie punkty $C$ o polu $7$ leżą na dwóch prostych równoległych do $AB$, po obu jej stronach, w odległości $h = \frac{2P}{|AB|} = \frac{14}{2\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$. Oś $OY$ przecina każdą z tych prostych raz.

Pole wielokąta - wzór Gaussa (sznurowadłowy)

Dla wielokąta o $n$ wierzchołkach $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$, wypisanych po kolei wzdłuż brzegu, pole wynosi

$P = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} \left(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i\right)\right|, \qquad (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1).$

Każdy składnik to wyznacznik dwóch kolejnych wierzchołków traktowanych jak wektory zaczepione w początku układu. Nazwa „sznurowadłowy” bierze się ze schematu: wypisujemy współrzędne w dwóch kolumnach, powtarzamy pierwszy wierzchołek na końcu i mnożymy „na krzyż” jak przy sznurowaniu buta.

Przykład 6. Oblicz pole pięciokąta $A = (-2, -1)$, $B = (3, -2)$, $C = (5, 2)$, $D = (1, 5)$, $E = (-3, 2)$.

Krok 1. Składniki dla kolejnych par wierzchołków.

Krok 2. Pole. $P = \frac{1}{2} \cdot |70| = 35$.

Kontrola: podział na trójkąty. Przekątne z wierzchołka $A$ dzielą pięciokąt na trójkąty $ABC$, $ACD$ i $ADE$. Z wyznaczników:

$P_{ABC} = \frac{1}{2}\left|\det([5, -1], [7, 3])\right| = \frac{22}{2} = 11, \quad P_{ACD} = \frac{1}{2}\left|\det([7, 3], [3, 6])\right| = \frac{33}{2} = 16{,}5, \quad P_{ADE} = \frac{1}{2}\left|\det([3, 6], [-1, 3])\right| = \frac{15}{2} = 7{,}5.$

Razem $11 + 16{,}5 + 7{,}5 = 35$.

Dwie zasady, bez których wzór kłamie. Po pierwsze, wierzchołki muszą iść po kolei wzdłuż brzegu - kolejność $A, C, B, D, E$ daje łamaną, która sama siebie przecina, a wzór zwraca wtedy $13$ zamiast $35$. Po drugie, wielokąt nie może mieć samoprzecięć. Wypukłość nie jest potrzebna: wzór działa także dla wielokątów wklęsłych. Sumę z tabeli warto zapisać przed wartością bezwzględną - dodatnia oznacza obieg przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Dla wielokątów o wierzchołkach w punktach kratowych jest jeszcze jeden ładny wzór - twierdzenie Picka, które liczy pole z liczby punktów kratowych wewnątrz i na brzegu.

Którą metodę wybrać

Wysokość przydaje się też odwrotnie: gdy znamy pole z wyznacznika, wysokość opuszczona na bok $a$ to $h = \frac{2P}{a}$ - bez równania prostej. Klasyczne podejście przez wysokość pokazuje lekcja układy równań w geometrii analitycznej.

Typowe błędy

• Wektory z różnych wierzchołków. We wzorze są $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ - oba z punktu $A$. Para $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ też działa (to ten sam wyznacznik), ale $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CA}$ zmienia znak, a mieszanie współrzędnych punktów z współrzędnymi wektorów daje zupełnie inną liczbę.
• Zapomniana połówka albo wartość bezwzględna. Wyznacznik bez połówki to pole równoległoboku, nie trójkąta. Ujemny wynik to nie błąd rachunkowy - po prostu bierzemy moduł.
• Wierzchołki wielokąta nie po kolei. Wzór Gaussa wymaga obiegu wzdłuż brzegu. Przy wierzchołkach podanych „na wyrywki” najpierw szkicujemy figurę i ustalamy kolejność.
• Jedno rozwiązanie zamiast dwóch. W zadaniach „pole równe $P$” równanie ma moduł, więc zwykle są dwa punkty - po obu stronach podstawy.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole trójkąta, mając współrzędne wierzchołków? Wyznacz wektory $\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$ i $\overrightarrow{AC} = [x_C - x_A, y_C - y_A]$, policz wyznacznik „na krzyż” $(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)$ i weź połowę jego wartości bezwzględnej. Dla $A = (-3, -2)$, $B = (4, 1)$, $C = (0, 5)$ wychodzi $\frac{1}{2}|7 \cdot 7 - 3 \cdot 3| = 20$.

Co to jest wyznacznik wektorów? To liczba $\det(\vec u, \vec v) = u_1v_2 - u_2v_1$ przypisana parze wektorów. Jej wartość bezwzględna to pole równoległoboku rozpiętego na tych wektorach, a znak mówi, czy obrót od $\vec u$ do $\vec v$ odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (plus), czy zgodnie z nim (minus).

Na czym polega wzór sznurowadłowy? To wzór Gaussa na pole wielokąta: wypisujesz kolejne wierzchołki, dla każdej pary sąsiednich liczysz $x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$, sumujesz (razem z parą „ostatni - pierwszy”) i bierzesz połowę modułu sumy. Mnożenie „na krzyż” kolejnych wierszy przypomina sznurowanie buta.

Czy wzór Gaussa działa dla wielokąta wklęsłego? Tak, pod warunkiem że wierzchołki są wypisane po kolei wzdłuż brzegu, a boki się nie przecinają. Nie działa dla figur samoprzecinających się (np. „kokardy” z dwóch trójkątów).

Jak sprawdzić, czy trzy punkty są współliniowe? Policz $\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$. Jeśli wychodzi zero, punkty leżą na jednej prostej; jeśli nie - tworzą trójkąt o polu równym połowie modułu tej liczby.

Czy kolejność wierzchołków ma wpływ na pole? Na wynik po wzięciu wartości bezwzględnej - nie (o ile w wielokącie wierzchołki idą po kolei). Zmienia się tylko znak wyznacznika: obieg przeciwny do ruchu wskazówek zegara daje liczbę dodatnią, zgodny - ujemną.

Przećwicz

• Pole trójkąta i wielokąta ze współrzędnych - zadania → - pole trójkąta i równoległoboku wyznacznikiem, wierzchołek na prostej przy danym polu, wzór Gaussa dla czworokąta i pięciokąta wklęsłego, trójkąt z trzech prostych i prosta dzieląca czworokąt na połowy.
• Na start: pole trójkąta z wyznacznika i kontrola Heronem, pięciokąt niewypukły, prosta dzieląca czworokąt na dwie równe części.
• Dalej: styczne do okręgu z punktu i wspólne styczne dwóch okręgów.

Podsumowanie

• $\det(\vec u, \vec v) = u_1v_2 - u_2v_1$; jego moduł to pole równoległoboku rozpiętego na $\vec u$ i $\vec v$, a znak - orientacja pary wektorów.
• Pole trójkąta: $P = \frac{1}{2}\left|\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)\right|$; pole równoległoboku: $\left|\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\right)\right|$.
• $\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 0$ oznacza, że $A$, $B$, $C$ są współliniowe.
• Warunek „pole równe $P$” daje równanie z modułem - zwykle dwa rozwiązania po obu stronach podstawy.
• Wzór Gaussa liczy pole dowolnego wielokąta bez samoprzecięć, także wklęsłego, o ile wierzchołki idą po kolei wzdłuż brzegu.

Zobacz też

• Dwusieczne kątów między prostymi i okrąg wpisany w trójkąt - poprzednia lekcja: odległość punktu od prostej w zadaniach.
• Wektory w zadaniach z geometrii analitycznej - kwadraty, romby i trójkąty równoboczne wyznaczane wektorami, z polem liczonym tą metodą.
• Pole trójkąta - wzór Herona - pole z trzech boków, przydatne do kontroli wyniku.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.