Pole trójkąta A = (−4, 1), B = (2, −3), C = (3, 4) ze wzoru z wyznacznikiem

Krok 1. Wektory z wierzchołka $A$.

$\overrightarrow{AB} = [2 - (-4),\ -3 - 1] = [6, -4], \qquad \overrightarrow{AC} = [3 - (-4),\ 4 - 1] = [7, 3].$

Krok 2. Wyznacznik.

$\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 6 \cdot 3 - (-4) \cdot 7 = 18 + 28 = 46.$

Krok 3. Pole. $P = \frac{1}{2} \cdot |46| = 23$.

Krok 4. Kontrola wzorem Herona. Kwadraty boków: $|AB|^2 = 36 + 16 = 52$, $|AC|^2 = 49 + 9 = 58$, $|BC|^2 = 1 + 49 = 50$. Wzór Herona w postaci z kwadratami boków, $16P^2 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$, daje

$16P^2 = 2(52 \cdot 58 + 58 \cdot 50 + 50 \cdot 52) - 52^2 - 58^2 - 50^2 = 17\,032 - 8568 = 8464,$

czyli $P^2 = 529$ i $P = 23$. Wynik się zgadza - ale wyznacznik był wyraźnie krótszy.

Krok 5. Wysokość z $C$. Wysokość opada na bok $AB$, więc z $P = \frac{1}{2}|AB| \cdot h_C$:

$h_C = \frac{2P}{|AB|} = \frac{46}{\sqrt{52}} = \frac{46}{2\sqrt{13}} = \frac{23}{\sqrt{13}} = \frac{23\sqrt{13}}{13}.$

Ten sam wynik daje wzór na odległość punktu $C$ od prostej $AB\colon 2x + 3y + 5 = 0$: $\frac{|2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 5|}{\sqrt{13}} = \frac{23}{\sqrt{13}}$.

Odpowiedź. $P = 23$, $h_C = \frac{23\sqrt{13}}{13} \approx 6{,}38$.