Pole pięciokąta niewypukłego ze współrzędnych - wzór Gaussa i podział na trójkąty

Krok 1. Rysunek. Wierzchołek $D = (0, 0)$ jest „wciśnięty” do środka - pięciokąt jest wklęsły, ale jego boki się nie przecinają, więc wzór Gaussa działa.

Krok 2. Składniki wzoru Gaussa dla kolejnych par $A \to B \to C \to D \to E \to A$:

• $A \to B$: $(-3)(-2) - 4 \cdot (-2) = 6 + 8 = 14$,
• $B \to C$: $4 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) = 12 + 8 = 20$,
• $C \to D$: $4 \cdot 0 - 0 \cdot 3 = 0$,
• $D \to E$: $0 \cdot 4 - (-3) \cdot 0 = 0$,
• $E \to A$: $(-3)(-2) - (-3) \cdot 4 = 6 + 12 = 18$.

Krok 3. Pole.

$P = \frac{1}{2}|14 + 20 + 0 + 0 + 18| = \frac{52}{2} = 26.$

Dwa składniki są zerami, bo $D$ leży w początku układu.

Krok 4. Kontrola podziałem z wierzchołka wklęsłego. Odcinki $DA$ i $DB$ leżą wewnątrz działki i dzielą ją na trójkąty $DEA$, $DAB$ i $DBC$. Ponieważ $D = (0, 0)$, wektory to po prostu współrzędne punktów:

$P_{DEA} = \frac{1}{2}|(-3)(-2) - 4 \cdot (-3)| = 9, \quad P_{DAB} = \frac{1}{2}|(-3)(-2) - (-2) \cdot 4| = 7, \quad P_{DBC} = \frac{1}{2}|4 \cdot 3 - (-2) \cdot 4| = 10.$

Razem $9 + 7 + 10 = 26$.

Pułapka: podział z wierzchołka $A$. Gdyby podzielić działkę przekątnymi z $A$ (trójkąty $ABC$, $ACD$, $ADE$) i dodać ich pola bez zastanowienia, wyszłoby $17{,}5 + 0{,}5 + 9 = 27$. Odcinek $AC$ wychodzi jednak poza wielokąt (przechodzi nad wklęsłym wierzchołkiem $D$), a trójkąt $ACD$ leży na zewnątrz działki - jego pole trzeba odjąć: $17{,}5 - 0{,}5 + 9 = 26$. Wzór Gaussa robi to sam, bo wyznacznik trójkąta $ACD$ wychodzi ujemny. Dlatego dla wielokątów wklęsłych wygodniej liczyć wzorem niż podziałem.

Odpowiedź. Pole działki to $26$ jednostek kwadratowych, czyli $26 \cdot 100\ \text{m}^2 = 2600\ \text{m}^2$.