Wierzchołek C na prostej y = 2x − 1, trójkąt ABC o polu 15 - dwa rozwiązania

Krok 1. Punkt na prostej z jedną zmienną. Każdy punkt prostej ma postać $C = (t,\ 2t - 1)$.

Krok 2. Wektory.

$\overrightarrow{AB} = [6, 2], \qquad \overrightarrow{AC} = [t + 2,\ 2t - 1].$

Krok 3. Wyznacznik jako funkcja $t$.

$\det\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = 6(2t - 1) - 2(t + 2) = 12t - 6 - 2t - 4 = 10t - 10.$

Krok 4. Równanie z polem.

$\frac{1}{2}|10t - 10| = 15 \quad\Longrightarrow\quad |t - 1| = 3 \quad\Longrightarrow\quad t = 4 \ \ \text{lub}\ \ t = -2.$

Krok 5. Wierzchołki. $t = 4$ daje $C_1 = (4, 7)$, a $t = -2$ daje $C_2 = (-2, -5)$.

Krok 6. Kontrola. Dla $C_2 = (-2, -5)$: $\overrightarrow{AC_2} = [0, -5]$ i $\det = 6 \cdot (-5) - 2 \cdot 0 = -30$, pole $15$. Dla $C_1 = (4, 7)$: $\overrightarrow{AC_1} = [6, 7]$, $\det = 42 - 12 = 30$, pole $15$.

Dlaczego dwa rozwiązania. Dla $t = 1$ wyznacznik się zeruje: punkt $(1, 1)$ leży na prostej $AB$ i „trójkąt” jest zdegenerowany. Pole rośnie liniowo, gdy oddalamy się od tego punktu w każdą stronę: $P = 5|t - 1|$. Wartość $15$ jest osiągana raz z każdej strony.

Odpowiedź. $C = (4, 7)$ lub $C = (-2, -5)$.