Przesunięcie o wektor, symetrie i obrót w układzie współrzędnych - obraz prostej i okręgu

Klasa 3 liceum i technikum

Przekształcenie geometryczne w układzie współrzędnych to przepis, który każdemu punktowi $(x, y)$ przyporządkowuje dokładnie jeden punkt $(x', y')$ - jego obraz. Przesunięcie o wektor, symetrie i obroty są izometriami: zachowują odległości, więc obrazem odcinka jest odcinek tej samej długości, prostej - prosta, okręgu - okrąg o tym samym promieniu, a trójkąta - trójkąt przystający o tym samym polu. Dlatego w zadaniach wystarcza przekształcić kilka punktów: wierzchołki wielokąta, środek okręgu albo dwa punkty prostej.

W klasie 2 te same przekształcenia stosowaliśmy do wykresów funkcji - patrz przesunięcie wykresu wzdłuż osi OX, symetria względem osi OX i OY i symetria środkowa względem (0, 0). Tutaj zajmujemy się figurami: punktem, prostą, okręgiem i wielokątem, a do tego symetrią względem dowolnego punktu, prostej $y = x$ i obrotem.

Wzory przekształceń w jednej tabeli

Skąd wzór na symetrię względem punktu $S = (a, b)$? Punkt $S$ jest środkiem odcinka $PP'$, więc z wzoru na środek odcinka$a = \frac{x + x'}{2}$, czyli $x' = 2a - x$ (i tak samo $y' = 2b - y$). Ten sam pomysł daje symetrię względem prostych $x = a$ i $y = b$ - zmienia się tylko jedna współrzędna.

Przesunięcie o wektor

Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [a, b]$ dodaje $a$ do pierwszej współrzędnej i $b$ do drugiej. Każdy punkt przesuwa się o tę samą długość $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ w tym samym kierunku. Jeśli znamy punkt $P$ i jego obraz $P'$, to wektor przesunięcia jest równy $\overrightarrow{PP'}$.

Przykład 1. Przesuń trójkąt o wierzchołkach $A = (-3, 1)$, $B = (0, -1)$, $C = (-1, 3)$ o wektor $\vec{u} = [4, 2]$.

Krok 1. Dodajemy współrzędne wektora do każdego wierzchołka.

$A' = (-3 + 4,\ 1 + 2) = (1, 3), \qquad B' = (0 + 4,\ -1 + 2) = (4, 1), \qquad C' = (-1 + 4,\ 3 + 2) = (3, 5).$

Krok 2. Kontrola. Przesunięcie zachowuje długości, więc na przykład $|AB| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$ i $|A'B'| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$. Oba trójkąty mają pole $5$.

Przykład 2 - obraz prostej. Wyznacz obraz prostej $l\colon 2x - y + 3 = 0$ w przesunięciu o wektor $\vec{u} = [3, -1]$.

Krok 1. Wyrażamy stare współrzędne przez nowe. Punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x', y') = (x + 3,\ y - 1)$, więc $x = x' - 3$ i $y = y' + 1$.

Krok 2. Podstawiamy do równania prostej $l$.

$2(x' - 3) - (y' + 1) + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x' - y' - 4 = 0.$

Krok 3. Kontrola na punkcie. Punkt $(0, 3)$ leży na $l$ ($0 - 3 + 3 = 0$). Jego obraz to $(3, 2)$, a $2 \cdot 3 - 2 - 4 = 0$ - zgadza się.

Odpowiedź. $l'\colon 2x - y - 4 = 0$. Obraz prostej w przesunięciu jest do niej równoległy (te same współczynniki przy $x$ i $y$), a gdy wektor jest równoległy do prostej - prosta przechodzi sama na siebie.

Przykład 3 - obraz okręgu. Okrąg $o\colon x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$ przesunięto tak, że otrzymano okrąg $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 9$. Wyznacz wektor przesunięcia.

Krok 1. Środek i promień okręgu $o$. Z postaci ogólnej ($a = 3$, $b = -1$, $r^2 = 9 + 1 - 1 = 9$): środek $(3, -1)$, promień $3$.

Krok 2. Porównujemy z obrazem. Obraz ma środek $(-2, 4)$ i ten sam promień $3$ - przesunięcie jest więc możliwe. Wektor to różnica środków:

$\vec{u} = [-2 - 3,\ 4 - (-1)] = [-5, 5].$

Odpowiedź. $\vec{u} = [-5, 5]$. Gdyby promienie były różne, żadne przesunięcie (ani inna izometria) nie przeprowadziłoby jednego okręgu na drugi - potrzebna byłaby jednokładność.

Symetria względem osi i prostej y = x

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej, względem osi $OY$ - pierwszej, a symetria względem prostej $y = x$ zamienia współrzędne miejscami. Ta ostatnia jest najczęściej mylona z symetrią względem osi $OY$ - warto ją zapamiętać na przykładzie: punkt $(5, 1)$ leży pod prostą $y = x$, a jego obraz $(1, 5)$ - nad nią.

Przykład 4. Wyznacz obraz okręgu $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0$ w symetrii względem prostej $y = x$ oraz w symetrii względem osi $OX$.

Krok 1. Środek i promień. $x^2 - 4x + y^2 - 2y = 4$, czyli $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$: środek $S = (2, 1)$, promień $3$.

Krok 2. Obraz środka. Symetria względem $y = x$: $S' = (1, 2)$. Symetria względem osi $OX$: $S'' = (2, -1)$.

Krok 3. Równania obrazów (promień bez zmian):

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9, \qquad (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.$

Przykład 5 - obraz prostej w symetrii. Wyznacz obraz prostej $y = 3x - 2$ w symetrii względem prostej $y = x$, osi $OY$ i prostej $x = 1$.

Krok 1. Symetria względem $y = x$ zamienia $x$ i $y$ także w równaniu: $x = 3y - 2$, czyli $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$. (To prosta symetryczna - jej współczynnik kierunkowy jest odwrotnością $3$, bo zamieniliśmy role osi.)

Krok 2. Symetria względem osi $OY$: w miejsce $x$ wstawiamy $-x$: $y = -3x - 2$.

Krok 3. Symetria względem prostej $x = 1$: punkt $(x, y)$ przechodzi w $(2 - x, y)$, więc w równaniu wstawiamy $2 - x$ w miejsce $x$:

$y = 3(2 - x) - 2 = -3x + 4.$

Kontrola. Punkt $(1, 1)$ leży na prostej $x = 1$ i na prostej $y = 3x - 2$, więc musi leżeć także na obrazie: $-3 \cdot 1 + 4 = 1$ - zgadza się.

Symetrię względem dowolnej prostej, np. $y = \frac{1}{2}x + 1$, wykonuje się inaczej - przez rzut prostokątny punktu na prostą. Ten rachunek rozpisaliśmy w zadaniach punkt symetryczny względem prostej i prosta symetryczna względem prostej.

Symetria środkowa względem dowolnego punktu

Symetria względem punktu $S = (a, b)$ to obrót o $180^\circ$ wokół $S$. Ze wzoru $(x, y) \mapsto (2a - x,\ 2b - y)$ wynika, że obrazem prostej jest prosta do niej równoległa (albo ta sama, gdy $S$ na niej leży).

Przykład 6. Dla $S = (2, -1)$ wyznacz obraz punktu $A = (5, 3)$ i prostej $k\colon x + 2y - 6 = 0$.

Krok 1. Punkt. $A' = (2 \cdot 2 - 5,\ 2 \cdot (-1) - 3) = (-1, -5)$.

Krok 2. Prosta. Stare współrzędne przez nowe: $x = 4 - x'$, $y = -2 - y'$. Podstawiamy:

$(4 - x') + 2(-2 - y') - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -x' - 2y' - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x' + 2y' + 6 = 0.$

Odpowiedź. $A' = (-1, -5)$, $k'\colon x + 2y + 6 = 0$ - prosta równoległa do $k$. Punkt $S$ leży dokładnie w połowie odległości między nimi.

Obrót o 90° wokół dowolnego punktu

Obrót o $90^\circ$ wokół początku układu (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) przeprowadza $(x, y)$ na $(-y, x)$. Wektor $[3, -1]$ przechodzi więc na $[1, 3]$ - i rzeczywiście $[3, -1] \cdot [1, 3] = 3 - 3 = 0$, wektory są prostopadłe (zob. iloczyn skalarny). Obrót wokół punktu $S$ wykonujemy w trzech krokach: wektor $\overrightarrow{SP}$, obrót wektora, dodanie do $S$:

$P' = S + \text{obrót}\left(\overrightarrow{SP}\right).$

Przykład 7. Obróć punkt $P = (4, 1)$ wokół $S = (1, 2)$ o $90^\circ$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Krok 1. Wektor. $\overrightarrow{SP} = [4 - 1,\ 1 - 2] = [3, -1]$.

Krok 2. Obrót wektora o $90^\circ$: $[x, y] \mapsto [-y, x]$, czyli $[3, -1] \mapsto [1, 3]$.

Krok 3. Dodajemy do $S$. $P' = (1 + 1,\ 2 + 3) = (2, 5)$.

Kontrola. $|SP| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ i $|SP'| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$, a wektory $[3, -1]$ i $[1, 3]$ są prostopadłe. Obrót o $-90^\circ$ dałby wektor $[-1, -3]$ i punkt $(0, -1)$.

Obrót o $180^\circ$ to dwa obroty o $90^\circ$: $[x, y] \mapsto [-y, x] \mapsto [-x, -y]$ - czyli symetria środkowa. Obraz okręgu w obrocie dostajemy, obracając jego środek: okrąg $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$ po obrocie o $90^\circ$ wokół $(0, 0)$ ma środek $(1, 3)$ i równanie $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$.

Złożenie przekształceń

Złożenie to wykonanie dwóch przekształceń po kolei - drugie działa na obraz z pierwszego. Trzy wyniki, które warto znać, sprawdzimy na wzorach:

Wniosek: dwie symetrie względem prostych równoległych odległych o $d$ dają przesunięcie o wektor długości $2d$ prostopadły do tych prostych, a dwie symetrie względem prostych prostopadłych - symetrię względem ich punktu przecięcia. Przy prostych równoległych kolejność ma znaczenie: zmienia zwrot wektora.

Ile przekształceń przeprowadza jeden okrąg na drugi

Przykład 8. Okręgi $o_1\colon (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$ i $o_2\colon (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ mają równe promienie. Wyznacz przesunięcie, symetrię środkową i symetrię osiową, które przeprowadzają $o_1$ na $o_2$.

Krok 1. Środki. $S_1 = (-2, -1)$, $S_2 = (2, 3)$. Każde z tych przekształceń musi przeprowadzić $S_1$ na $S_2$ - promień i tak się zgadza.

Krok 2. Przesunięcie o wektor $\overrightarrow{S_1S_2} = [4, 4]$.

Krok 3. Symetria środkowa względem środka odcinka $S_1S_2$: $M = \left(\frac{-2 + 2}{2},\ \frac{-1 + 3}{2}\right) = (0, 1)$.

Krok 4. Symetria osiowa względem symetralnej odcinka $S_1S_2$. Prosta prostopadła do wektora $[4, 4]$ ma postać $x + y + C = 0$; przechodzi przez $M = (0, 1)$, więc $C = -1$:

$x + y - 1 = 0.$

Odpowiedź. Przesunięcie o $[4, 4]$, symetria względem punktu $(0, 1)$ i symetria względem prostej $x + y - 1 = 0$. (Pasuje też na przykład obrót o $90^\circ$ wokół punktu $(-2, 3)$ - sprawdź to wzorem z przykładu 7.)

Izometria zachowuje odległości

Z każdego wzoru w tabeli wynika, że odległość obrazów jest taka sama jak odległość punktów. Dla przesunięcia różnice współrzędnych się nie zmieniają, dla symetrii zmieniają się co najwyżej znaki albo kolejność, a dla obrotu $[x, y] \mapsto [-y, x]$ długość wektora to wciąż $\sqrt{x^2 + y^2}$. Praktyczne wnioski:

• obraz okręgu ma ten sam promień, a obraz wielokąta - te same boki i to samo pole;
• obraz prostej jest prostą; przy przesunięciu i symetrii środkowej - równoległą;
• dwa okręgi o różnych promieniach nigdy nie są swoimi obrazami w izometrii.

Typowe błędy

• Zły kierunek podstawienia przy obrazie prostej. Przesunięcie o $[3, -1]$ daje $x = x' - 3$, a więc w równaniu pojawia się $x - 3$, nie $x + 3$. Najpewniejsza kontrola: przesuń jeden punkt prostej i sprawdź, czy spełnia nowe równanie.
• Symetria względem $y = x$ pomylona z symetrią względem osi $OY$. Względem $y = x$ zamieniamy współrzędne: $(5, 1) \mapsto (1, 5)$, a nie $(-5, 1)$.
• Symetria względem punktu $S$ liczona jak względem $(0, 0)$. Wzór to $(2a - x,\ 2b - y)$, a nie $(-x, -y)$.
• Obrót w złą stronę. $(x, y) \mapsto (-y, x)$ to obrót przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (dodatni). Przy obrocie wokół $S$ obracamy wektor $\overrightarrow{SP}$, nie punkt $P$.
• Zmiana promienia okręgu. Izometria nie zmienia promienia - przekształcamy tylko środek.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć obraz punktu w przesunięciu o wektor? Dodaj współrzędne wektora do współrzędnych punktu: przesunięcie o $[a, b]$ przeprowadza $(x, y)$ na $(x + a,\ y + b)$. Na przykład $(2, -3)$ przesunięty o $[-1, 4]$ to $(1, 1)$.

Jak znaleźć punkt symetryczny względem prostej y = x? Zamień współrzędne miejscami: $(x, y) \mapsto (y, x)$. Punkt $(4, -1)$ przechodzi w $(-1, 4)$. Dla prostej $y = -x$ zamieniasz miejscami i zmieniasz oba znaki: $(4, -1) \mapsto (1, -4)$.

Jak wyznaczyć punkt symetryczny względem punktu? Punkt $S = (a, b)$ jest środkiem odcinka między punktem a jego obrazem, więc obraz to $(2a - x,\ 2b - y)$. Dla $S = (1, 1)$ i punktu $(4, -1)$ obraz to $(-2, 3)$.

Jak obrócić punkt o 90 stopni wokół innego punktu? Wyznacz wektor $\overrightarrow{SP} = [p, q]$, obróć go na $[-q, p]$ (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) albo na $[q, -p]$ (zgodnie), a wynik dodaj do współrzędnych $S$.

Jak wyznaczyć obraz prostej w przekształceniu? Wyraź stare współrzędne przez nowe (np. przy przesunięciu o $[3, -1]$: $x = x' - 3$, $y = y' + 1$) i podstaw do równania prostej. Można też przekształcić dwa punkty prostej i poprowadzić przez nie prostą.

Jak wyznaczyć obraz okręgu w symetrii albo przesunięciu? Przekształć tylko środek okręgu, a promień zostaw bez zmian - symetrie, przesunięcia i obroty zachowują odległości.

Czym różni się symetria względem osi OX od symetrii względem osi OY? Względem osi $OX$ (poziomej) zmienia się znak drugiej współrzędnej: $(x, y) \mapsto (x, -y)$. Względem osi $OY$ (pionowej) - pierwszej: $(x, y) \mapsto (-x, y)$.

Przećwicz

• Przekształcenia w układzie współrzędnych - zadania → - wektor przesunięcia z pary punktów, obrazy punktu w sześciu przekształceniach, obraz prostej i okręgu, obrót trójkąta wokół punktu, złożenie symetrii i przesunięcie z parametrem.
• Na start: obrazy punktu (4, −1) w sześciu przekształceniach, obrót trójkąta o 90° wokół punktu, złożenie dwóch symetrii osiowych.
• Dalej: jednokładność w układzie współrzędnych - przekształcenie, które zmienia rozmiar figury.

Podsumowanie

• Przesunięcie o $[a, b]$: $(x + a,\ y + b)$; symetria względem $OX$: $(x, -y)$, względem $OY$: $(-x, y)$, względem $y = x$: $(y, x)$, względem punktu $(a, b)$: $(2a - x,\ 2b - y)$.
• Obrót o $90^\circ$ wokół $S$: obracamy wektor $\overrightarrow{SP}$ według $[p, q] \mapsto [-q, p]$ i dodajemy do $S$.
• Obraz prostej: stare współrzędne przez nowe i podstawienie do równania; obraz okręgu: obraz środka i ten sam promień.
• Dwie symetrie względem prostych równoległych dają przesunięcie, względem prostopadłych - symetrię środkową.
• Wszystkie te przekształcenia są izometriami: zachowują długości, kąty i pola.

Zobacz też

• Wektor w układzie współrzędnych - współrzędne i długość wektora, przesuwanie punktu o wektor.
• Symetria względem osi OX i OY - te same wzory zastosowane do wykresów funkcji.
• Rzut i symetria - zadania - symetria względem dowolnej prostej przez rzut prostokątny.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.