Złożenie dwóch symetrii osiowych względem prostych y = −1 i y = 2 - przesunięcie i obraz okręgu

Krok 1. Środek i promień. $x^2 - 2x + y^2 = 0$, czyli $(x - 1)^2 + y^2 = 1$: środek $O = (1, 0)$, promień $1$.

Krok 2. Wzory symetrii. Symetria względem prostej $y = b$: $(x, y) \mapsto (x,\ 2b - y)$. Zatem względem $y = -1$: $(x, y) \mapsto (x,\ -2 - y)$, a względem $y = 2$: $(x, y) \mapsto (x,\ 4 - y)$.

Krok 3. Złożenie (a).

$(x, y) \ \mapsto\ (x,\ -2 - y) \ \mapsto\ (x,\ 4 - (-2 - y)) = (x,\ y + 6).$

To przesunięcie o wektor $[0, 6]$ - dwa razy odległość między prostymi ($3$), prostopadle do nich. Środek $O = (1, 0)$ przechodzi najpierw w $(1, -2)$, potem w $(1, 6)$, promień się nie zmienia:

$(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 1.$

Krok 4. Odwrotna kolejność (b).

$(x, y) \ \mapsto\ (x,\ 4 - y) \ \mapsto\ (x,\ -2 - (4 - y)) = (x,\ y - 6).$

Tym razem przesunięcie o $[0, -6]$: środek $(1, 0) \mapsto (1, 4) \mapsto (1, -6)$, obraz $(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 1$. Kolejność ma znaczenie - zmienia zwrot wektora.

Krok 5. Proste prostopadłe (c). Symetria względem $x = 3$: $(x, y) \mapsto (6 - x,\ y)$. Złożenie:

$(x, y) \ \mapsto\ (x,\ -2 - y) \ \mapsto\ (6 - x,\ -2 - y).$

To wzór symetrii względem punktu $(3, -1)$ - punktu przecięcia obu prostych (bo $2 \cdot 3 - x$ i $2 \cdot (-1) - y$). Środek $(1, 0)$ przechodzi w $(5, -2)$.

Odpowiedź. a) Przesunięcie o $[0, 6]$, obraz $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 1$. b) Przesunięcie o $[0, -6]$, obraz $(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 1$. c) Symetria względem punktu $(3, -1)$, obraz $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1$.