Okrąg na okrąg o tym samym promieniu - wektor przesunięcia, środek i oś symetrii

Krok 1. Środki i promienie. Dopełniamy do kwadratów:

$o_1\colon (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9 + 4 - 4 = 9, \qquad o_2\colon (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9.$

$S_1 = (-3, 2)$, $S_2 = (1, -2)$, oba promienie równe $3$.

Krok 2. Przesunięcie o wektor $\overrightarrow{S_1S_2} = [1 - (-3),\ -2 - 2] = [4, -4]$.

Krok 3. Symetria środkowa względem środka odcinka $S_1S_2$: $M = \left(\frac{-3 + 1}{2},\ \frac{2 - 2}{2}\right) = (-1, 0)$.

Krok 4. Oś symetrii to symetralna odcinka $S_1S_2$: prosta przez $M$ prostopadła do wektora $[4, -4]$, czyli $4(x + 1) - 4(y - 0) = 0$:

$x - y + 1 = 0 \quad (y = x + 1).$

Krok 5. Punkty wspólne leżą na osi. Okręgi się przecinają, bo $|S_1S_2| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66 < 3 + 3$. Odejmujemy równania stronami (znikają $x^2$ i $y^2$):

$8x - 8y + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + 1 = 0.$

Każdy punkt wspólny spełnia oba równania, więc spełnia też ich różnicę - leży na prostej $x - y + 1 = 0$, czyli na osi symetrii. Dla porządku: podstawiając $y = x + 1$ do $o_1$, dostajemy $2x^2 + 4x + 1 = 0$, czyli punkty o odciętych $x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Odpowiedź. a) Oba promienie są równe $3$. b) Przesunięcie o $[4, -4]$, symetria względem punktu $(-1, 0)$ i symetria względem prostej $y = x + 1$. c) Różnica równań okręgów to równanie osi $x - y + 1 = 0$, więc oba punkty wspólne na niej leżą.