Iloczyn skalarny i kąt między wektorami - wzór na cosinus i prostopadłość

Klasa 3 liceum i technikum

Iloczyn skalarny dwóch wektorów to liczba (nie wektor) równa sumie iloczynów ich odpowiednich współrzędnych: $[u_1, u_2] \circ [v_1, v_2] = u_1 v_1 + u_2 v_2$. Ta sama liczba jest równa iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi, dlatego pozwala obliczyć kąt między wektorami bez rysunku i bez kątomierza, a iloczyn równy zeru oznacza wektory prostopadłe.

W podręcznikach iloczyn skalarny zapisuje się jako $\vec{u} \circ \vec{v}$ albo $\vec{u} \cdot \vec{v}$ - to ta sama operacja. W poprzedniej lekcji (podział odcinka i wektory równoległe) sprawdzaliśmy, kiedy wektory leżą na jednej prostej; teraz mierzymy kąt między nimi.

Iloczyn skalarny ze współrzędnych

Mnożymy pierwsze współrzędne, mnożymy drugie i dodajemy. Wynik jest zwykłą liczbą - stąd nazwa „skalarny” (skalar = liczba).

Przykład 1. Oblicz $\vec{u} \circ \vec{v}$ dla $\vec{u} = [3, 1]$ i $\vec{v} = [-1, 2]$.

$\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -3 + 2 = -1.$

Wynik jest ujemny - jeszcze przed obliczeniem kąta wiadomo, że jest on rozwarty.

Własności, z których korzysta się w zadaniach:

• $\vec{u} \circ \vec{v} = \vec{v} \circ \vec{u}$ (przemienność),
• $\vec{u} \circ (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \circ \vec{v} + \vec{u} \circ \vec{w}$ (rozdzielność),
• $(k\vec{u}) \circ \vec{v} = k\,(\vec{u} \circ \vec{v})$,
• $\vec{u} \circ \vec{u} = u_1^2 + u_2^2 = |\vec{u}|^2$ - iloczyn wektora przez siebie to kwadrat jego długości.

Skąd wzór z cosinusem

Zaczepmy wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ w jednym punkcie. Ich końce i punkt zaczepienia tworzą trójkąt, w którym trzeci bok to wektor $\vec{u} - \vec{v}$. Z twierdzenia cosinusów:

$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\,|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha.$

Lewa strona we współrzędnych to $(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 = u_1^2 + u_2^2 + v_1^2 + v_2^2 - 2(u_1 v_1 + u_2 v_2)$. Po skróceniu $|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$ po obu stronach zostaje

$u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha.$

Obie definicje iloczynu skalarnego dają więc tę samą liczbę - i z tej równości liczymy kąt.

Kąt między wektorami

$\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}.$

Kąt między wektorami bierzemy z przedziału $\langle 0^\circ, 180^\circ \rangle$, a w tym przedziale cosinus wyznacza kąt jednoznacznie - nie trzeba rozważać przypadków.

Przykład 2. Oblicz kąt między wektorami $\vec{u} = [4, 2]$ i $\vec{v} = [1, 3]$.

Krok 1. Iloczyn skalarny. $\vec{u} \circ \vec{v} = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 10$.

Krok 2. Długości. $|\vec{u}| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $|\vec{v}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Krok 3. Cosinus.

$\cos\alpha = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Odpowiedź. $\alpha = 45^\circ$.

Przykład 3. Oblicz kąt między wektorami $\vec{u} = [1, 2]$ i $\vec{v} = [-3, -1]$.

$\vec{u} \circ \vec{v} = -3 - 2 = -5$, $|\vec{u}| = \sqrt{5}$, $|\vec{v}| = \sqrt{10}$, więc

$\cos\alpha = \frac{-5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 135^\circ.$

Ujemny cosinus to kąt rozwarty. Znak iloczynu skalarnego od razu mówi, jakiego rodzaju jest kąt:

Prostopadłość wektorów

Wektory niezerowe są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy $\cos\alpha = 0$, czyli gdy $u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$. To najczęściej używany fakt tej lekcji: zamienia prostopadłość (np. wysokość, kąt prosty w trójkącie, styczną do okręgu) w jedno równanie. Z niego wynika też znany warunek $a_1 a_2 = -1$ dla prostych - prosta $y = ax + b$ ma wektor kierunkowy $[1, a]$, a $[1, a_1] \circ [1, a_2] = 1 + a_1 a_2$.

Przykład 4. Dla jakich $m$ wektory $\vec{u} = [m, 3]$ i $\vec{v} = [m - 2, -1]$ są prostopadłe?

Krok 1. Równanie. $m(m - 2) + 3 \cdot (-1) = 0$, czyli $m^2 - 2m - 3 = 0$.

Krok 2. Rozwiązanie. $(m - 3)(m + 1) = 0$, więc $m = 3$ albo $m = -1$.

Krok 3. Kontrola. Dla $m = 3$: $[3, 3] \circ [1, -1] = 3 - 3 = 0$. Dla $m = -1$: $[-1, 3] \circ [-3, -1] = 3 - 3 = 0$.

Odpowiedź. $m = 3$ lub $m = -1$.

Kąty trójkąta ze współrzędnych wierzchołków

Kąt przy wierzchołku $A$ trójkąta $ABC$ to kąt między wektorami $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ - oba zaczepione w $A$. Gdyby wziąć $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$, wyszedłby kąt zewnętrzny trójkąta, a nie wewnętrzny.

Przykład 5. Oblicz kąty trójkąta o wierzchołkach $A = (0, 0)$, $B = (6, 0)$, $C = (2, 4)$.

Krok 1. Kąt przy $A$. $\overrightarrow{AB} = [6, 0]$, $\overrightarrow{AC} = [2, 4]$:

$\cos\angle A = \frac{12}{6 \cdot \sqrt{20}} = \frac{12}{12\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad\Longrightarrow\quad \angle A \approx 63{,}43^\circ.$

Krok 2. Kąt przy $B$. $\overrightarrow{BA} = [-6, 0]$, $\overrightarrow{BC} = [-4, 4]$:

$\cos\angle B = \frac{24}{6 \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \angle B = 45^\circ.$

Krok 3. Kąt przy $C$ - liczymy osobno, żeby mieć kontrolę. $\overrightarrow{CA} = [-2, -4]$, $\overrightarrow{CB} = [4, -4]$:

$\cos\angle C = \frac{-8 + 16}{\sqrt{20} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{8}{8\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad\Longrightarrow\quad \angle C \approx 71{,}57^\circ.$

Suma: $63{,}43^\circ + 45^\circ + 71{,}57^\circ = 180^\circ$ - rachunki się zgadzają.

Odpowiedź. $\angle A \approx 63{,}43^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C \approx 71{,}57^\circ$ - trójkąt jest ostrokątny (wszystkie iloczyny skalarne dodatnie).

Iloczyn skalarny bez współrzędnych

Gdy znamy tylko długości wektorów i kąt między nimi, korzystamy z definicji $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$ i z własności $\vec{w} \circ \vec{w} = |\vec{w}|^2$. Tak liczy się długość sumy lub różnicy wektorów.

Przykład 6. $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 4$, a kąt między wektorami ma $120^\circ$. Oblicz $\vec{u} \circ \vec{v}$ i $|\vec{u} + \vec{v}|$.

Krok 1. Iloczyn skalarny. $\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -6$.

Krok 2. Kwadrat długości sumy. Rozpisujemy jak wzór skróconego mnożenia:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \circ (\vec{u} + \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + 2\,\vec{u} \circ \vec{v} + |\vec{v}|^2 = 9 - 12 + 16 = 13.$

Odpowiedź. $\vec{u} \circ \vec{v} = -6$, $|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{13}$.

Rzut wektora na kierunek drugiego wektora

Iloczyn skalarny ma prosty sens geometryczny: $\vec{u} \circ \vec{v}$ to długość wektora $\vec{v}$ razy (ze znakiem) długość rzutu wektora $\vec{u}$ na kierunek $\vec{v}$. Stąd

$\text{długość rzutu } \vec{u} \text{ na } \vec{v} = \frac{|\vec{u} \circ \vec{v}|}{|\vec{v}|}, \qquad \text{rzut} = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{v}|^2}\,\vec{v}.$

Przykład 7. Wyznacz rzut wektora $\vec{u} = [5, 1]$ na kierunek wektora $\vec{v} = [3, 4]$.

$\vec{u} \circ \vec{v} = 15 + 4 = 19$ i $|\vec{v}| = 5$, więc długość rzutu to $\frac{19}{5} = 3{,}8$, a sam rzut to $\frac{19}{25}[3, 4] = [2{,}28;\ 3{,}04]$. Kontrola: $\vec{u} - \text{rzut} = [2{,}72;\ -2{,}04]$ i $[2{,}72;\ -2{,}04] \circ [3, 4] = 8{,}16 - 8{,}16 = 0$ - różnica jest prostopadła do $\vec{v}$, jak powinna.

Ta sama idea stoi za rzutem prostokątnym punktu na prostą i za wzorem na odległość punktu od prostej.

Zadanie z parametrem: kiedy kąt jest ostry

Warunek „iloczyn skalarny dodatni” to jeszcze nie „kąt ostry”: dla wektorów równoległych o zgodnych zwrotach iloczyn też jest dodatni, a kąt wynosi $0^\circ$. Analogicznie iloczyn ujemny daje kąt rozwarty albo $180^\circ$.

Przykład 8. Dla jakich $m$ kąt między wektorami $\vec{u} = [m, 2]$ i $\vec{v} = [3, m - 1]$ jest ostry, a dla jakich rozwarty?

Krok 1. Iloczyn skalarny. $\vec{u} \circ \vec{v} = 3m + 2(m - 1) = 5m - 2$. Jest dodatni dla $m > \frac{2}{5}$, ujemny dla $m < \frac{2}{5}$, a dla $m = \frac{2}{5}$ wektory są prostopadłe.

Krok 2. Wektory równoległe. $m(m - 1) - 2 \cdot 3 = 0$, czyli $m^2 - m - 6 = 0$, skąd $m = 3$ lub $m = -2$. Dla $m = 3$: $\vec{u} = \vec{v} = [3, 2]$ - kąt $0^\circ$. Dla $m = -2$: $\vec{u} = [-2, 2]$, $\vec{v} = [3, -3]$ - zwroty przeciwne, kąt $180^\circ$.

Krok 3. Wnioski. Kąt ostry: $m > \frac{2}{5}$ i $m \ne 3$. Kąt rozwarty: $m < \frac{2}{5}$ i $m \ne -2$.

Odpowiedź. Ostry dla $m \in \left(\frac{2}{5}, 3\right) \cup (3, \infty)$, rozwarty dla $m \in (-\infty, -2) \cup \left(-2, \frac{2}{5}\right)$.

Typowe błędy

• Wektory zaczepione w różnych punktach. Kąt trójkąta przy $B$ to kąt między $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{BC}$. Para $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ daje kąt zewnętrzny ($180^\circ$ minus właściwy kąt).
• Iloczyn skalarny jako wektor. Wynik to liczba; zapis $[u_1 v_1, u_2 v_2]$ nie ma sensu.
• Zapomniane wektory równoległe. Iloczyn dodatni nie gwarantuje kąta ostrego - trzeba wykluczyć kąt $0^\circ$ (i $180^\circ$ przy kącie rozwartym).
• Kąt ostry między wektorami a kąt między prostymi. Między wektorami kąt może być rozwarty; między prostymi bierzemy zawsze kąt nie większy niż $90^\circ$ - o tym w lekcji kąt między prostymi.
• Długość zamiast kwadratu długości. $\vec{u} \circ \vec{u} = |\vec{u}|^2$, a nie $|\vec{u}|$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć iloczyn skalarny wektorów? Pomnóż pierwsze współrzędne, pomnóż drugie i dodaj wyniki: $[u_1, u_2] \circ [v_1, v_2] = u_1 v_1 + u_2 v_2$. Jeśli znasz długości i kąt, użyj wzoru $|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$.

Jak obliczyć kąt między wektorami? Podziel iloczyn skalarny przez iloczyn długości wektorów - dostaniesz $\cos\alpha$. Kąt odczytaj z tablic albo z wartości szczególnych; należy do przedziału od $0^\circ$ do $180^\circ$.

Kiedy wektory są prostopadłe? Gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru: $u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0$. Na przykład $[2, 3]$ i $[3, -2]$ są prostopadłe, bo $6 - 6 = 0$.

Co oznacza ujemny iloczyn skalarny? Że kąt między wektorami jest rozwarty (albo równy $180^\circ$, gdy wektory są przeciwnie skierowane). Iloczyn dodatni oznacza kąt ostry albo $0^\circ$.

Czy iloczyn skalarny jest wektorem? Nie, to liczba. Wektorem jest za to iloczyn wektora przez liczbę, np. $3\,[1, 2] = [3, 6]$.

Jak obliczyć kąty trójkąta, znając współrzędne wierzchołków? Dla każdego wierzchołka weź dwa wektory zaczepione w tym wierzchołku i prowadzące do pozostałych dwóch, oblicz cosinus kąta między nimi i odczytaj kąt. Suma trzech kątów musi wyjść $180^\circ$.

Przećwicz

• Iloczyn skalarny i kąt między wektorami - zadania → - rodzaj kąta ze znaku iloczynu, kąt 150°, prostopadłość z parametrem, kąty trójkąta, kąt prosty z wierzchołkiem na osi, długość sumy i różnicy wektorów, kąt ostry z parametrem.
• Na start: ostry, prosty czy rozwarty, kąty trójkąta ze współrzędnych, cztery trójkąty prostokątne z wierzchołkiem na osi x.
• Dalej: kąt między prostymi - wzór z tangensem i z wektorów normalnych.

Podsumowanie

• $\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$ - liczba, nie wektor; równość obu postaci wynika z twierdzenia cosinusów.
• $\cos\alpha = \frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$, kąt z przedziału $\langle 0^\circ, 180^\circ\rangle$.
• Iloczyn zero - prostopadłe; dodatni - kąt ostry lub $0^\circ$; ujemny - rozwarty lub $180^\circ$.
• Kąt trójkąta przy wierzchołku liczymy z wektorów zaczepionych w tym wierzchołku.
• $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2\,\vec{u} \circ \vec{v} + |\vec{v}|^2$ - długość sumy bez współrzędnych.

Zobacz też

• Podział odcinka w danym stosunku i wektory równoległe - poprzednia lekcja: równoległość wektorów i podział odcinka.
• Twierdzenie cosinusów - z niego wynika wzór na kąt między wektorami.
• Równanie ogólne prostej - wektor normalny prostej i warunki prostopadłości.
• Wektory i geometria analityczna - spis lekcji rozdziału.