Kąt między prostymi - wzór z tangensem i z wektorów normalnych

Klasa 3 liceum i technikum

Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi to mniejszy z dwóch kątów, jakie tworzą one w punkcie przecięcia - zawsze ostry albo prosty, czyli z przedziału od $0^\circ$ do $90^\circ$. Dla prostych w postaci kierunkowej liczymy go ze wzoru $\operatorname{tg} \varphi = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2}\right|$, a dla prostych w postaci ogólnej - z cosinusa kąta między ich wektorami normalnymi. Prostym równoległym przypisujemy kąt $0^\circ$, prostopadłym - $90^\circ$.

W klasie 2 sprawdzaliśmy tylko dwa szczególne przypadki: czy proste są równoległe lub prostopadłe ($a_1 = a_2$ albo $a_1a_2 = -1$) oraz jak to samo wyczytać z równania ogólnego, gdzie wektor $[A, B]$ jest prostopadły do prostej. Teraz idziemy dalej: liczymy dowolny kąt między prostymi i budujemy proste z wektorów. Narzędziem jest iloczyn skalarny i kąt między wektorami z poprzedniej lekcji.

Prosta z wektora normalnego i z wektora kierunkowego

Wektor $\vec{n} = [A, B]$ jest wektorem normalnym prostej, jeśli jest do niej prostopadły. Punkt $X = (x, y)$ leży na prostej przechodzącej przez $P = (x_0, y_0)$ dokładnie wtedy, gdy wektor $\overrightarrow{PX} = [x - x_0,\ y - y_0]$ jest prostopadły do $\vec{n}$, czyli ich iloczyn skalarny jest równy zeru:

$\vec{n} \circ \overrightarrow{PX} = A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.$

Po wymnożeniu wychodzi zwykła postać ogólna $Ax + By + C = 0$ - stąd wniosek, że współczynniki przy $x$ i $y$ to współrzędne wektora normalnego.

Wektor kierunkowy $\vec{u} = [p, q]$ leży wzdłuż prostej. Wektor $[q, -p]$ jest do niego prostopadły ($p \cdot q + q \cdot (-p) = 0$), więc jest wektorem normalnym - i dostajemy wzór $q(x - x_0) - p(y - y_0) = 0$.

Przykład 1. Wyznacz prostą przechodzącą przez $P = (2, -1)$ i prostopadłą do wektora $\vec{n} = [3, 4]$.

$3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4y - 2 = 0.$

Kontrola: $3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) - 2 = 0$ - punkt $P$ leży na prostej.

Przykład 2. Wyznacz prostą przechodzącą przez $P = (-1, 3)$ i równoległą do wektora $\vec{u} = [2, 5]$.

Krok 1. Wektor normalny. Zamieniamy współrzędne miejscami i zmieniamy jeden znak: $\vec{n} = [5, -2]$. Kontrola: $\vec{u} \circ \vec{n} = 2 \cdot 5 + 5 \cdot (-2) = 0$.

Krok 2. Równanie.

$5(x + 1) - 2(y - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x - 2y + 11 = 0.$

Współczynnik kierunkowy tej prostej to $\frac{5}{2}$ - dokładnie $\frac{q}{p}$ z wektora kierunkowego. Tak jest zawsze, gdy $p \ne 0$: wektor $[p, q]$ „idzie” o $p$ w prawo i o $q$ w górę. Wektor $[1, a]$ jest więc wektorem kierunkowym prostej $y = ax + b$.

Kąt między prostymi - wzór z tangensem

Niech proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ mają kąty nachylenia $\alpha_1$ i $\alpha_2$, czyli $a_1 = \operatorname{tg} \alpha_1$ i $a_2 = \operatorname{tg} \alpha_2$. Kąt między nimi to różnica kątów nachylenia $\alpha_1 - \alpha_2$ (albo jej dopełnienie do $180^\circ$). Ze wzoru na tangens różnicy:

$\operatorname{tg}(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\operatorname{tg} \alpha_1 - \operatorname{tg} \alpha_2}{1 + \operatorname{tg} \alpha_1 \operatorname{tg} \alpha_2} = \frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2}.$

Wartość bezwzględna wybiera kąt ostry: gdy ułamek wyjdzie ujemny, różnica kątów nachylenia jest rozwarta, a kąt między prostymi to jej dopełnienie do $180^\circ$ - o tangensie przeciwnego znaku. Gdy $1 + a_1a_2 = 0$, wzoru nie da się użyć, ale wtedy proste są prostopadłe ($\varphi = 90^\circ$).

Przykład 3. Oblicz kąt między prostymi $y = 3x - 1$ i $y = -2x + 4$.

$\operatorname{tg} \varphi = \left| \frac{3 - (-2)}{1 + 3 \cdot (-2)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = 1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 45^\circ.$

Proste przecinają się w punkcie $S = (1, 2)$: $3x - 1 = -2x + 4$ daje $x = 1$.

Najczęściej spotykane wartości warto rozpoznawać od razu:

Kąt między prostymi w postaci ogólnej - wzór z cosinusem

Wzór z tangensem zawodzi, gdy jedna z prostych jest pionowa - nie ma ona współczynnika kierunkowego. Wtedy korzystamy z wektorów normalnych $\vec{n_1} = [A_1, B_1]$ i $\vec{n_2} = [A_2, B_2]$. Kąt między prostymi jest równy kątowi między ich wektorami normalnymi albo jego dopełnieniu do $180^\circ$ (obie proste obracamy o ten sam kąt prosty). Ze wzoru na cosinus kąta między wektorami, z wartością bezwzględną wybierającą kąt ostry:

$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.$

Przykład 4. Oblicz kąt między prostymi $x - 2 = 0$ i $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$.

Krok 1. Wektory normalne. $\vec{n_1} = [1, 0]$, $\vec{n_2} = [\sqrt{3}, -1]$.

Krok 2. Cosinus.

$\cos \varphi = \frac{|1 \cdot \sqrt{3} + 0 \cdot (-1)|}{1 \cdot \sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 30^\circ.$

Kontrola: druga prosta to $y = \sqrt{3}x + 1$, nachylona do osi $OX$ pod kątem $60^\circ$, więc z prostą pionową tworzy kąt $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Przykład 4a - po co wartość bezwzględna. Dla prostych $2x + 3y - 1 = 0$ i $x - 5y + 2 = 0$ iloczyn skalarny wektorów normalnych to $2 \cdot 1 + 3 \cdot (-5) = -13$. Bez wartości bezwzględnej:

$\cos \psi = \frac{-13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-13}{13\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \psi = 135^\circ.$

To kąt między wektorami normalnymi, a nie między prostymi. Kąt między prostymi to $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ - i właśnie to daje wzór z modułem.

Prosta przechodząca przez punkt pod danym kątem do prostej

Gdy szukamy prostej tworzącej z daną prostą kąt $\varphi$, wartość bezwzględna we wzorze daje dwa równania - i zwykle dwie proste, symetryczne względem danej.

Przykład 5. Wyznacz równania prostych przechodzących przez punkt $P = (1, 2)$, które tworzą z prostą $y = 2x + 1$ kąt $45^\circ$.

Krok 1. Równanie na współczynnik. Szukana prosta ma postać $y = ax + b$. Z warunku $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$:

$\left| \frac{a - 2}{1 + 2a} \right| = 1.$

Krok 2. Dwa przypadki.

$a - 2 = 1 + 2a \;\Rightarrow\; a = -3, \qquad a - 2 = -(1 + 2a) \;\Rightarrow\; 3a = 1 \;\Rightarrow\; a = \frac{1}{3}.$

Krok 3. Wyraz wolny z punktu $P$. Dla $a = -3$: $2 = -3 + b$, więc $b = 5$. Dla $a = \frac{1}{3}$: $2 = \frac{1}{3} + b$, więc $b = \frac{5}{3}$.

Odpowiedź: $y = -3x + 5$ oraz $y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$.

Obie znalezione proste są do siebie prostopadłe: $-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$. To nie przypadek - dwie proste tworzące z daną prostą kąt $45^\circ$ różnią się kierunkiem o $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Gdyby szukana prosta mogła być pionowa, trzeba by ją sprawdzić osobno (wzór z tangensem jej nie „widzi”); tu prosta $x = 1$ tworzy z $y = 2x + 1$ kąt $90^\circ - \operatorname{arctg} 2 \approx 26{,}57^\circ$, więc nie spełnia warunku.

Kąty trójkąta z równań jego boków

Gdy znamy równania prostych, w których leżą boki trójkąta, kąty liczymy parami prostych. Uwaga: wzór daje kąt ostry między prostymi, a kąt trójkąta może być rozwarty. Rozstrzyga iloczyn skalarny wektorów wychodzących z wierzchołka (ujemny - kąt rozwarty) albo suma kątów równa $180^\circ$.

Przykład 6. Boki trójkąta $ABC$ leżą na prostych $AB\colon x - 2y = 0$, $BC\colon x + y - 12 = 0$ i $AC\colon 3x - y = 0$. Oblicz kąty trójkąta.

Krok 1. Współczynniki kierunkowe. $AB\colon y = \frac{1}{2}x$, $BC\colon y = -x + 12$, $AC\colon y = 3x$, czyli $a_{AB} = \frac{1}{2}$, $a_{BC} = -1$, $a_{AC} = 3$.

Krok 2. Wierzchołki. Z układów równań par prostych: $A = (0, 0)$, $B = (8, 4)$, $C = (3, 9)$.

Krok 3. Kąty między prostymi.

$\text{przy } A\colon\ \operatorname{tg} \varphi_A = \left| \frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{3}{2}} \right| = 1, \qquad \text{przy } B\colon\ \operatorname{tg} \varphi_B = \left| \frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2}} \right| = 3, \qquad \text{przy } C\colon\ \operatorname{tg} \varphi_C = \left| \frac{3 + 1}{1 - 3} \right| = 2.$

Krok 4. Czy któryś kąt trójkąta jest rozwarty? $\varphi_A = 45^\circ$, $\varphi_B = \operatorname{arctg} 3 \approx 71{,}57^\circ$, $\varphi_C = \operatorname{arctg} 2 \approx 63{,}43^\circ$. Suma to $180^\circ$, więc wszystkie trzy kąty ostre są kątami trójkąta. (Gdyby suma wyszła mniejsza, jeden kąt trójkąta byłby rozwarty, równy $180^\circ - \varphi$.)

Odpowiedź: $\sphericalangle A = 45^\circ$, $\sphericalangle B = \operatorname{arctg} 3 \approx 71{,}57^\circ$, $\sphericalangle C = \operatorname{arctg} 2 \approx 63{,}43^\circ$.

Kontrola wektorami: $\overrightarrow{AB} = [8, 4]$, $\overrightarrow{AC} = [3, 9]$, $\cos \sphericalangle A = \frac{24 + 36}{\sqrt{80} \cdot \sqrt{90}} = \frac{60}{60\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - zgadza się.

Typowe błędy

• Brak wartości bezwzględnej. Bez modułu wzór daje czasem tangens lub cosinus ujemny, czyli kąt rozwarty - a kąt między prostymi nie przekracza $90^\circ$.
• Wzór z tangensem dla prostej pionowej. Prosta $x = c$ nie ma współczynnika $a$ - użyj wzoru z cosinusem i wektora normalnego $[1, 0]$.
• Mylenie kąta nachylenia z kątem między prostymi. Kąt nachylenia mierzymy od osi $OX$ i może być rozwarty (do $180^\circ$); kąt między prostymi - nie.
• Jedno rozwiązanie zamiast dwóch. Prosta pod kątem $\varphi$ do danej prostej przez dany punkt to zwykle dwie proste (dwa przypadki modułu).
• Kąt trójkąta utożsamiony z kątem między prostymi. Gdy trójkąt jest rozwartokątny, jego kąt rozwarty to $180^\circ - \varphi$.
• Pomylone wektory. W postaci ogólnej $[A, B]$ jest prostopadły do prostej, a $[B, -A]$ - równoległy. Prosta z wektora kierunkowego $[p, q]$ ma wektor normalny $[q, -p]$, nie $[p, q]$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć kąt między prostymi? Dla prostych $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ policz $\operatorname{tg} \varphi = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2}\right|$ i odczytaj kąt (z tabeli albo jako $\operatorname{arctg}$). Gdy $1 + a_1a_2 = 0$, proste są prostopadłe, a gdy $a_1 = a_2$ - równoległe (kąt $0^\circ$).

Jak obliczyć kąt między prostymi w postaci ogólnej? Weź wektory normalne $[A_1, B_1]$ i $[A_2, B_2]$ i policz $\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$. Ten wzór działa też dla prostych pionowych.

Czy kąt między prostymi może być rozwarty? Nie. Dwie przecinające się proste tworzą dwie pary kątów wierzchołkowych: $\varphi$ i $180^\circ - \varphi$. Kątem między prostymi nazywamy mniejszy z nich, więc $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$. Rozwarty może być natomiast kąt między wektorami albo kąt trójkąta.

Jaki jest kąt między prostymi równoległymi? Przyjmuje się, że $0^\circ$. We wzorze z tangensem $a_1 = a_2$ daje $\operatorname{tg} \varphi = 0$, a we wzorze z cosinusem $\cos \varphi = 1$.

Co to jest wektor normalny prostej? To każdy niezerowy wektor prostopadły do prostej. Dla prostej $Ax + By + C = 0$ jest nim $[A, B]$ (i każda jego niezerowa wielokrotność).

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor kierunkowy? Dla punktu $(x_0, y_0)$ i wektora $[p, q]$: $q(x - x_0) - p(y - y_0) = 0$. Na przykład przez $(-1, 3)$ z wektorem $[2, 5]$: $5(x + 1) - 2(y - 3) = 0$, czyli $5x - 2y + 11 = 0$.

Przećwicz

• Kąt między prostymi - zadania → - wzór z tangensem i z cosinusem, prosta z wektora normalnego i kierunkowego, prosta pod danym kątem przez punkt, kąty trójkąta z równań boków, parametr i trójkąt z kątem rozwartym.
• Na start: kąt z tangensem dla trzech par prostych, prosta pionowa i wzór z cosinusem, dla jakiego m kąt wynosi 60°.
• Dalej: dwusieczne kątów między prostymi i okrąg wpisany w trójkąt - jak zbiór punktów równo oddalonych od dwóch prostych wyznacza dwusieczne.

Podsumowanie

• Kąt między prostymi to mniejszy z kątów w punkcie przecięcia: $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$.
• Postać kierunkowa: $\operatorname{tg} \varphi = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2}\right|$; gdy $1 + a_1a_2 = 0$ - proste prostopadłe.
• Postać ogólna (także proste pionowe): $\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$.
• Prosta przez $(x_0, y_0)$ z wektorem normalnym $[A, B]$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$; z wektorem kierunkowym $[p, q]$: $q(x - x_0) - p(y - y_0) = 0$.
• Prosta pod danym kątem do danej prostej: dwa przypadki modułu, zwykle dwie odpowiedzi.
• Kąt trójkąta może być rozwarty - wtedy jest równy $180^\circ - \varphi$.

Zobacz też

• Iloczyn skalarny i kąt między wektorami - wzór na cosinus kąta, z którego wynika wzór dla postaci ogólnej.
• Równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej - klasa 2: wektor normalny, warunki równoległości i prostopadłości.
• Równanie kierunkowe prostej - klasa 2: współczynnik kierunkowy i kąt nachylenia.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.