Główna › Zadania › Geometria analityczna › Kąt między prostymi › Dla jakiego m kąt między prostymi mx − y + 1 = 0 i x + y − 3 = 0 wynosi 60°? Kąt z parametrem Dla jakiego m kąt między prostymi mx − y + 1 = 0 i x + y − 3 = 0 wynosi 60°? Kąt z parametrem Szkoła średnia trudne
Wyznacz wszystkie wartości parametru m m m k : m x − y + 1 = 0 k\colon mx - y + 1 = 0 k : m x − y + 1 = 0 l : x + y − 3 = 0 l\colon x + y - 3 = 0 l : x + y − 3 = 0 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Współczynniki kierunkowe. k : y = m x + 1 k\colon y = mx + 1 k : y = m x + 1 l : y = − x + 3 l\colon y = -x + 3 l : y = − x + 3 a 1 = m a_1 = m a 1 = m a 2 = − 1 a_2 = -1 a 2 = − 1
Krok 2. Przypadek szczególny. Gdy 1 + a 1 a 2 = 1 − m = 0 1 + a_1a_2 = 1 - m = 0 1 + a 1 a 2 = 1 − m = 0 m = 1 m = 1 m = 1 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ m ≠ 1 m \ne 1 m = 1
Krok 3. Równanie. tg 60 ∘ = 3 \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3} tg 6 0 ∘ = 3
∣ m + 1 1 − m ∣ = 3 . \left| \frac{m + 1}{1 - m} \right| = \sqrt{3}. 1 − m m + 1 = 3 .
Krok 4. Pierwszy przypadek. m + 1 = 3 ( 1 − m ) m + 1 = \sqrt{3}(1 - m) m + 1 = 3 ( 1 − m )
m ( 1 + 3 ) = 3 − 1 ⇒ m = 3 − 1 3 + 1 = ( 3 − 1 ) 2 3 − 1 = 4 − 2 3 2 = 2 − 3 . m(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 \;\Rightarrow\; m = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}. m ( 1 + 3 ) = 3 − 1 ⇒ m = 3 + 1 3 − 1 = 3 − 1 ( 3 − 1 ) 2 = 2 4 − 2 3 = 2 − 3 .
Krok 5. Drugi przypadek. m + 1 = − 3 ( 1 − m ) m + 1 = -\sqrt{3}(1 - m) m + 1 = − 3 ( 1 − m )
m ( 1 − 3 ) = − 3 − 1 ⇒ m = 3 + 1 3 − 1 = ( 3 + 1 ) 2 2 = 2 + 3 . m(1 - \sqrt{3}) = -\sqrt{3} - 1 \;\Rightarrow\; m = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2} = 2 + \sqrt{3}. m ( 1 − 3 ) = − 3 − 1 ⇒ m = 3 − 1 3 + 1 = 2 ( 3 + 1 ) 2 = 2 + 3 .
Krok 6. Interpretacja. Prosta l l l O X OX O X 135 ∘ 135^\circ 13 5 ∘ 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 135 ∘ − 60 ∘ = 75 ∘ 135^\circ - 60^\circ = 75^\circ 13 5 ∘ − 6 0 ∘ = 7 5 ∘ 135 ∘ + 60 ∘ − 180 ∘ = 15 ∘ 135^\circ + 60^\circ - 180^\circ = 15^\circ 13 5 ∘ + 6 0 ∘ − 18 0 ∘ = 1 5 ∘ tg 75 ∘ = 2 + 3 \operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3} tg 7 5 ∘ = 2 + 3 tg 15 ∘ = 2 − 3 \operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3} tg 1 5 ∘ = 2 − 3
Krok 7. Kontrola. Dla m = 2 − 3 m = 2 - \sqrt{3} m = 2 − 3 m + 1 1 − m = 3 − 3 3 − 1 = 3 ( 3 − 1 ) 3 − 1 = 3 \frac{m + 1}{1 - m} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3} 1 − m m + 1 = 3 − 1 3 − 3 = 3 − 1 3 ( 3 − 1 ) = 3 m = 2 + 3 m = 2 + \sqrt{3} m = 2 + 3 3 + 3 − 1 − 3 = 3 ( 3 + 1 ) − ( 3 + 1 ) = − 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{-(\sqrt{3} + 1)} = -\sqrt{3} − 1 − 3 3 + 3 = − ( 3 + 1 ) 3 ( 3 + 1 ) = − 3 3 \sqrt{3} 3
Odpowiedź. m = 2 − 3 m = 2 - \sqrt{3} m = 2 − 3 m = 2 + 3 m = 2 + \sqrt{3} m = 2 + 3
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 