Prosta przez punkt P = (3, −1) pod kątem 45° do prostej x − 2y + 4 = 0 - dwa rozwiązania

Krok 1. Współczynnik kierunkowy prostej $k$. $2y = x + 4$, czyli $y = \frac{1}{2}x + 2$ i $a_k = \frac{1}{2}$.

Krok 2. Prosta pionowa. Prosta $x = 3$ tworzy z $k$ kąt $90^\circ - \operatorname{arctg} \frac{1}{2} \approx 63{,}43^\circ \ne 45^\circ$ - odpada. Szukamy więc prostych $y = ax + b$.

Krok 3. Równanie z tangensem. $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$:

$\left| \frac{a - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}a} \right| = 1.$

Krok 4. Dwa przypadki.

$a - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}a \;\Rightarrow\; \frac{1}{2}a = \frac{3}{2} \;\Rightarrow\; a = 3,$

$a - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2}a \;\Rightarrow\; \frac{3}{2}a = -\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; a = -\frac{1}{3}.$

Krok 5. Wyraz wolny z punktu $P$. Dla $a = 3$: $-1 = 9 + b$, $b = -10$. Dla $a = -\frac{1}{3}$: $-1 = -1 + b$, $b = 0$.

Krok 6. Kontrola. Dla $a = 3$: $\left|\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{3}{2}}\right| = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} = 1$. Dla $a = -\frac{1}{3}$: $\left|\frac{-\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{6}}\right| = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$. Obie proste są do siebie prostopadłe ($3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$) - tak musi być, bo różnią się kierunkiem o $2 \cdot 45^\circ$.

Odpowiedź. $y = 3x - 10$ oraz $y = -\frac{1}{3}x$.