Kąt między prostymi ze wzoru z tangensem - trzy pary prostych w postaci kierunkowej

Krok 1. Wzór. Dla prostych $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$:

$\operatorname{tg} \varphi = \left| \frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2} \right|, \qquad 0^\circ \le \varphi \le 90^\circ.$

Krok 2. Para a). $a_1 = -2$, $a_2 = -\frac{1}{3}$:

$\operatorname{tg} \varphi = \left| \frac{-2 + \frac{1}{3}}{1 + (-2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} \right| = 1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 45^\circ.$

Ułamek wyszedł ujemny ($-1$) - różnica kątów nachylenia to $135^\circ$, a kąt między prostymi jest jej dopełnieniem do $180^\circ$. Wartość bezwzględna załatwia to automatycznie.

Krok 3. Para b). $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = -2$. Mianownik: $1 + \frac{1}{2} \cdot (-2) = 0$ - wzoru nie da się użyć. Warunek $a_1a_2 = -1$ oznacza, że proste są prostopadłe: $\varphi = 90^\circ$.

Krok 4. Para c). $a_1 = a_2 = 2$, a wyrazy wolne są różne - proste są równoległe i się nie przecinają. Ze wzoru: $\operatorname{tg} \varphi = \frac{0}{5} = 0$, czyli $\varphi = 0^\circ$.

Odpowiedź. a) $45^\circ$, b) $90^\circ$ (proste prostopadłe), c) $0^\circ$ (proste równoległe).