Kąt między prostymi w postaci ogólnej - wzór z cosinusem i prosta pionowa x = −2

Krok 1. Dlaczego nie tangens. Prosta $k\colon x = -2$ jest pionowa - nie ma współczynnika kierunkowego, więc wzór z tangensem odpada. Wzór z wektorów normalnych działa zawsze:

$\cos \varphi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.$

Krok 2. Para a). $\vec{n_k} = [1, 0]$, $\vec{n_l} = [1, -\sqrt{3}]$:

$\cos \varphi = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot (-\sqrt{3})|}{1 \cdot \sqrt{1 + 3}} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 60^\circ.$

Kontrola: $l\colon y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \sqrt{3}$ ma kąt nachylenia $30^\circ$, więc z prostą pionową tworzy kąt $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Krok 3. Para b) - iloczyn skalarny. $\vec{n_m} = [3, -4]$, $\vec{n_n} = [5, 12]$:

$\vec{n_m} \circ \vec{n_n} = 3 \cdot 5 + (-4) \cdot 12 = 15 - 48 = -33, \qquad |\vec{n_m}| = 5, \quad |\vec{n_n}| = 13.$

Krok 4. Cosinus kąta między prostymi.

$\cos \varphi = \frac{|-33|}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65}.$

Bez modułu wyszłoby $-\frac{33}{65}$, czyli kąt rozwarty $\approx 120{,}51^\circ$ - to kąt między wektorami normalnymi, a nie między prostymi.

Krok 5. Przybliżenie. $\varphi = \arccos \frac{33}{65} \approx 59{,}49^\circ$. Dla kontroli: $\sin \varphi = \sqrt{1 - \frac{1089}{4225}} = \frac{56}{65}$, więc $\operatorname{tg} \varphi = \frac{56}{33}$ - i to samo daje wzór z tangensem dla $a_1 = \frac{3}{4}$, $a_2 = -\frac{5}{12}$: $\left|\frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{48}}\right| = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} = \frac{56}{33}$.

Odpowiedź. a) $\varphi = 60^\circ$; b) $\cos \varphi = \frac{33}{65}$, $\varphi \approx 59{,}49^\circ$.