Kąty trójkąta z równań boków - trójkąt prostokątny równoramienny w układzie współrzędnych

Krok 1. Współczynniki kierunkowe.

$AB\colon\ y = \frac{1}{2}x + 1, \qquad AC\colon\ y = -2x + 11, \qquad BC\colon\ y = 3x + 1.$

Krok 2. Kąt przy $A$ (proste $AB$ i $AC$): $\frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$, więc proste są prostopadłe i $\sphericalangle A = 90^\circ$.

Krok 3. Kąt przy $B$ (proste $AB$ i $BC$):

$\operatorname{tg} \varphi_B = \left| \frac{\frac{1}{2} - 3}{1 + \frac{1}{2} \cdot 3} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = 1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi_B = 45^\circ.$

Krok 4. Kąt przy $C$ (proste $AC$ i $BC$):

$\operatorname{tg} \varphi_C = \left| \frac{-2 - 3}{1 + (-2) \cdot 3} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = 1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi_C = 45^\circ.$

Suma $90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$, więc wszystkie trzy kąty między prostymi są kątami trójkąta. Trójkąt jest prostokątny i równoramienny.

Krok 5. Wierzchołki.

• $A = AB \cap AC$: z $x = 2y - 2$ i $2(2y - 2) + y = 11$ wychodzi $y = 3$, $x = 4$ - $A = (4, 3)$;
• $B = AB \cap BC$: $\frac{1}{2}x + 1 = 3x + 1$ daje $x = 0$ - $B = (0, 1)$;
• $C = AC \cap BC$: $-2x + 11 = 3x + 1$ daje $x = 2$ - $C = (2, 7)$.

Krok 6. Kontrola długościami. $|AB| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$, $|AC| = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$, $|BC| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{20} \cdot \sqrt{2}$ - przyprostokątne równe, przeciwprostokątna $\sqrt{2}$ razy dłuższa.

Odpowiedź. $\sphericalangle A = 90^\circ$, $\sphericalangle B = \sphericalangle C = 45^\circ$; $A = (4, 3)$, $B = (0, 1)$, $C = (2, 7)$.