Jednokładność w układzie współrzędnych - wzór, skala i pole obrazu

Klasa 3 liceum i technikum

Jednokładność o środku $S$ i skali $k \ne 0$ to przekształcenie, które każdemu punktowi $P$ przyporządkowuje taki punkt $P'$, że $\overrightarrow{SP'} = k \cdot \overrightarrow{SP}$. Obraz leży więc na prostej $SP$, w odległości $|k|$ razy większej od $S$: po tej samej stronie $S$ co $P$, gdy $k > 0$, i po przeciwnej, gdy $k < 0$. Jednokładność zmienia rozmiar figury, ale nie jej kształt - obraz jest figurą podobną w skali $|k|$, a jego boki są równoległe do boków figury.

W poprzedniej lekcji poznaliśmy przesunięcia, symetrie i obroty, które zachowują odległości. Jednokładność odległości mnoży przez $|k|$ - to dzięki niej da się przeprowadzić okrąg na okrąg o innym promieniu.

Wzór na współrzędne obrazu

Z definicji $\overrightarrow{SP'} = k \cdot \overrightarrow{SP}$. Dla $S = (a, b)$ i $P = (x, y)$ wektor $\overrightarrow{SP} = [x - a,\ y - b]$, więc

$P' = S + k \cdot \overrightarrow{SP} = \big(a + k(x - a),\ b + k(y - b)\big).$

Liczymy zawsze w tej samej kolejności: wektor od środka, mnożenie przez skalę, dodanie do środka.

Przykład 1. Środek jednokładności $S = (1, 2)$. Wyznacz obraz punktu $P = (3, 3)$ w skali $k = 3$ i obraz punktu $Q = (5, -2)$ w skali $k = -\frac{1}{2}$.

Krok 1. Skala $3$. $\overrightarrow{SP} = [2, 1]$, więc $3 \cdot [2, 1] = [6, 3]$ i $P' = (1 + 6,\ 2 + 3) = (7, 5)$.

Krok 2. Skala $-\frac{1}{2}$. $\overrightarrow{SQ} = [4, -4]$, więc $-\frac{1}{2} \cdot [4, -4] = [-2, 2]$ i $Q' = (1 - 2,\ 2 + 2) = (-1, 4)$.

Odpowiedź. $P' = (7, 5)$, $Q' = (-1, 4)$. Punkt $Q'$ leży po drugiej stronie $S$ niż $Q$, dwa razy bliżej $S$.

Skala dodatnia, ujemna, większa i mniejsza od 1

Środek $S$ jest jedynym punktem, który przy $k \ne 1$ przechodzi sam na siebie.

Obraz wielokąta. Obwód i pole

Przykład 2. Trójkąt ma wierzchołki $A = (1, 1)$, $B = (3, 1)$, $C = (2, 3)$. Wyznacz jego obraz w jednokładności o środku $S = (-1, 0)$ i skali $k = 2$ oraz porównaj pola.

Krok 1. Wektory od środka. $\overrightarrow{SA} = [2, 1]$, $\overrightarrow{SB} = [4, 1]$, $\overrightarrow{SC} = [3, 3]$.

Krok 2. Mnożymy przez $2$ i dodajemy do $S$.

$A' = (-1 + 4,\ 0 + 2) = (3, 2), \qquad B' = (-1 + 8,\ 0 + 2) = (7, 2), \qquad C' = (-1 + 6,\ 0 + 6) = (5, 6).$

Krok 3. Pola. Bok $AB$ leży na prostej $y = 1$, ma długość $2$, a wysokość z $C$ to $2$: pole $ABC$ wynosi $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Bok $A'B'$ ma długość $4$, wysokość z $C'$ to $4$: pole $A'B'C'$ wynosi $8$.

Odpowiedź. $A' = (3, 2)$, $B' = (7, 2)$, $C' = (5, 6)$. Pole wzrosło $4 = 2^2$ razy, a obwód $2$ razy (z $2 + 2\sqrt{5}$ do $4 + 4\sqrt{5}$).

To nie przypadek - każdy odcinek wydłuża się $|k|$ razy, więc obwód rośnie $|k|$ razy, a pole $k^2$ razy. Przykładowo trójkąt o obwodzie $12$ i polu $6$ po jednokładności:

Znak skali nie wpływa na rozmiar, tylko na położenie: skale $3$ i $-3$ dają obrazy o tym samym polu, ale po przeciwnych stronach środka.

Obraz prostej - prosta równoległa

Jednokładność przeprowadza prostą na prostą równoległą (albo na nią samą, jeśli prosta przechodzi przez środek $S$). W równaniu $Ax + By + C = 0$ obrazu zmienia się więc tylko $C$ - wystarczy przekształcić jeden punkt prostej.

Przykład 3. Wyznacz obraz prostej $l\colon x + 2y - 4 = 0$ w jednokładności o środku $S = (1, -1)$ i skali $k = -2$.

Krok 1. Punkt prostej. $P = (4, 0)$ leży na $l$, bo $4 + 0 - 4 = 0$.

Krok 2. Jego obraz. $\overrightarrow{SP} = [3, 1]$, $-2 \cdot [3, 1] = [-6, -2]$, $P' = (1 - 6,\ -1 - 2) = (-5, -3)$.

Krok 3. Prosta równoległa przez $P'$. Szukamy $x + 2y + C = 0$: $-5 - 6 + C = 0$, więc $C = 11$.

Odpowiedź. $l'\colon x + 2y + 11 = 0$. Kontrola: odległość $S$ od $l$ to $\frac{|1 - 2 - 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$, a od $l'$ - $\frac{|1 - 2 + 11|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$, czyli $|k| = 2$ razy więcej (wzór na odległość punktu od prostej z lekcji równanie ogólne prostej).

Obraz okręgu

Obrazem okręgu o środku $O$ i promieniu $r$ jest okrąg o środku $O'$ (obraz $O$) i promieniu $|k| \cdot r$. Uwaga: środek okręgu i środek jednokładności to dwa różne punkty.

Przykład 4. Wyznacz obraz okręgu $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0$ w jednokładności o środku $S = (0, 1)$ i skali $k = -\frac{1}{2}$.

Krok 1. Środek i promień okręgu. $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4 + 1 - 1 = 4$: $O = (2, -1)$, $r = 2$.

Krok 2. Obraz środka. $\overrightarrow{SO} = [2, -2]$, $-\frac{1}{2} \cdot [2, -2] = [-1, 1]$, $O' = (0 - 1,\ 1 + 1) = (-1, 2)$.

Krok 3. Promień. $r' = \left|-\frac{1}{2}\right| \cdot 2 = 1$ - promień musi być dodatni, dlatego we wzorze jest wartość bezwzględna.

Odpowiedź. $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$. Kontrola: punkt okręgu $Q = (4, -1)$ przechodzi w $Q' = (-2, 2)$, a $(-2 + 1)^2 + (2 - 2)^2 = 1$.

Jak wyznaczyć środek i skalę jednokładności

Gdy znamy dwa punkty i ich obrazy:

1. Skala to stosunek wektorów: $\overrightarrow{A'B'} = k \cdot \overrightarrow{AB}$ (wektory muszą być równoległe, inaczej jednokładności nie ma).
2. Środek wynika z równania $\overrightarrow{SA'} = k \cdot \overrightarrow{SA}$, czyli $A' - S = k(A - S)$:

$S = \frac{kA - A'}{k - 1} \qquad (k \ne 1).$

Geometrycznie $S$ to punkt przecięcia prostych $AA'$ i $BB'$.

Przykład 5. Jednokładność przeprowadza $A = (0, 2)$ na $A' = (4, 4)$ i $B = (1, 0)$ na $B' = (7, -2)$. Wyznacz jej skalę i środek.

Krok 1. Skala. $\overrightarrow{AB} = [1, -2]$, $\overrightarrow{A'B'} = [3, -6] = 3 \cdot [1, -2]$, więc $k = 3$.

Krok 2. Środek.

$S = \frac{3 \cdot (0, 2) - (4, 4)}{3 - 1} = \frac{(-4, 2)}{2} = (-2, 1).$

Kontrola. $\overrightarrow{SB} = [3, -1]$, $3 \cdot [3, -1] = [9, -3]$, $S + [9, -3] = (7, -2) = B'$.

Odpowiedź. $k = 3$, $S = (-2, 1)$.

Dwa środki jednokładności dwóch okręgów

Dwa okręgi o różnych promieniach $r_1$ i $r_2$ (i różnych środkach) są jednokładne na dwa sposoby: w skali $k = \frac{r_2}{r_1}$ (środek zewnętrzny, poza odcinkiem $S_1S_2$) i w skali $k = -\frac{r_2}{r_1}$ (środek wewnętrzny, na odcinku $S_1S_2$). Jednokładność przeprowadza styczną na styczną, dlatego zewnętrzne wspólne styczne przechodzą przez środek zewnętrzny, a wewnętrzne - przez wewnętrzny. To wygodny sposób na wspólne styczne z lekcji styczne do okręgu i wspólne styczne.

Przykład 6. Okręgi mają środki $S_1 = (1, 1)$, $S_2 = (7, 4)$ i promienie $r_1 = 1$, $r_2 = 2$. Wyznacz oba środki jednokładności, które przeprowadzają pierwszy okrąg na drugi.

Krok 1. Skale. $k = \frac{2}{1} = 2$ albo $k = -2$.

Krok 2. Środek zewnętrzny ($k = 2$) ze wzoru $S = \frac{kS_1 - S_2}{k - 1}$:

$E = \frac{2 \cdot (1, 1) - (7, 4)}{1} = (-5, -2).$

Krok 3. Środek wewnętrzny ($k = -2$):

$I = \frac{-2 \cdot (1, 1) - (7, 4)}{-3} = \frac{(-9, -6)}{-3} = (3, 2).$

Kontrola. $I$ leży na odcinku $S_1S_2$ i dzieli go w stosunku $r_1 : r_2 = 1 : 2$ - to podział odcinka w danym stosunku: $S_1 + \frac{1}{3}\overrightarrow{S_1S_2} = (1 + 2,\ 1 + 1) = (3, 2)$.

Odpowiedź. $E = (-5, -2)$ (skala $2$) i $I = (3, 2)$ (skala $-2$). Okręgi są rozłączne ($|S_1S_2| = \sqrt{45} > 3$), więc mają cztery wspólne styczne - po dwie przez każdy z tych punktów.

Jednokładność a podobieństwo

Każda figura jednokładna jest podobna do wyjściowej w skali $|k|$, ale nie odwrotnie: dwa podobne trójkąty mogą być obrócone względem siebie i wtedy nie ma jednokładności, która jeden przeprowadza na drugi. Jednokładność to podobieństwo „z równoległymi bokami”. Na tym fakcie stoi twierdzenie Talesa: proste równoległe przecinające ramiona kąta wyznaczają trójkąty jednokładne względem wierzchołka kąta. Więcej o cechach podobieństwa: podobieństwo trójkątów.

Typowe błędy

• Mnożenie punktu zamiast wektora. $P' = k \cdot P$ działa tylko wtedy, gdy środkiem jest $(0, 0)$. Przy innym środku liczymy $S + k \cdot \overrightarrow{SP}$.
• Pole razy $k$ zamiast razy $k^2$. W skali $3$ pole rośnie $9$ razy, a w skali $\frac{1}{2}$ maleje $4$ razy.
• Ujemny promień. Przy $k = -2$ promień obrazu to $2r$, nie $-2r$.
• Pomylenie środka okręgu ze środkiem jednokładności. Przekształcamy środek okręgu, a liczymy od środka jednokładności.
• Zgubiony drugi środek jednokładności dwóch okręgów - zawsze są dwa (skale $\pm\frac{r_2}{r_1}$), chyba że promienie są równe: wtedy zostaje tylko środek wewnętrzny (skala $-1$).

Najczęstsze pytania

Co to jest jednokładność? To przekształcenie o środku $S$ i skali $k \ne 0$, które punktowi $P$ przyporządkowuje punkt $P'$ spełniający $\overrightarrow{SP'} = k \cdot \overrightarrow{SP}$. Zmienia rozmiar figury $|k|$ razy, a jej kształt zostaje ten sam.

Jak obliczyć współrzędne punktu w jednokładności? Oblicz wektor $\overrightarrow{SP}$, pomnóż go przez skalę $k$ i dodaj do współrzędnych środka: $P' = \big(a + k(x - a),\ b + k(y - b)\big)$.

Co oznacza ujemna skala jednokładności? Obraz leży po przeciwnej stronie środka niż punkt. Skala $-1$ to symetria środkowa, a skala $-2$ odwraca figurę i powiększa ją dwa razy.

Jak zmienia się pole figury w jednokładności? Pole mnoży się przez $k^2$, a obwód i długości odcinków - przez $|k|$. W skali $-3$ pole rośnie $9$ razy.

Jak wyznaczyć środek jednokładności? Jeśli znasz skalę $k$ i parę $A \to A'$, to $S = \frac{kA - A'}{k - 1}$. Geometrycznie środek to punkt przecięcia prostych łączących punkty z ich obrazami ($AA'$ i $BB'$).

Czy każde dwa okręgi są jednokładne? Tak, jeśli mają różne środki: okręgi o różnych promieniach mają dwa środki jednokładności, a okręgi o równych promieniach - jeden (skala $-1$, czyli symetria środkowa). Okręgi współśrodkowe są jednokładne względem wspólnego środka w skali $\pm\frac{r_2}{r_1}$.

Czym się różni jednokładność od podobieństwa? Jednokładność jest szczególnym podobieństwem: ma środek, a boki obrazu są równoległe do boków figury. Podobieństwo może dodatkowo obracać albo odbijać figurę.

Przećwicz

• Jednokładność - zadania → - obrazy punktów w różnych skalach, skala i środek z par punktów, obraz prostej i okręgu, pole obrazu i dwa środki jednokładności dwóch okręgów.
• Na start: obraz punktu w skalach 3, −2 i ½, środek i skala z dwóch par punktów, skala z pola obrazu trójkąta.
• Dalej: pochodna w geometrii analitycznej - najmniejsza odległość i największe pole.

Podsumowanie

• Jednokładność o środku $S$ i skali $k$: $\overrightarrow{SP'} = k \cdot \overrightarrow{SP}$, czyli $P' = S + k \cdot \overrightarrow{SP}$.
• $k > 0$ - obraz po tej samej stronie $S$, $k < 0$ - po przeciwnej; $k = -1$ to symetria środkowa.
• Długości i obwód mnożą się przez $|k|$, pole przez $k^2$, promień okręgu przez $|k|$.
• Obrazem prostej jest prosta równoległa, obrazem okręgu - okrąg o środku w obrazie środka.
• Środek jednokładności: $S = \frac{kA - A'}{k - 1}$, albo przecięcie prostych $AA'$ i $BB'$.
• Dwa okręgi o różnych promieniach mają dwa środki jednokładności, przez które przechodzą ich wspólne styczne.

Zobacz też

• Przesunięcie, symetrie i obrót w układzie współrzędnych - przekształcenia, które zachowują odległości.
• Twierdzenie Talesa - proporcje odcinków na ramionach kąta.
• Podobieństwo trójkątów - cechy podobieństwa i stosunek pól.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.