Skala jednokładności z pola obrazu - trójkąt o polu 6 i obraz o polu 54, k = 3 lub k = −3

Krok 1. Pole trójkąta $ABC$. Bok $AB$ leży na osi $OX$ i ma długość $4$, wysokość z $C$ to $3$:

$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6.$

Krok 2. Skala z pól. W jednokładności pole mnoży się przez $k^2$:

$k^2 \cdot 6 = 54 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 3 \ \text{lub}\ k = -3.$

Obie skale dają ten sam rozmiar obrazu - różnią się położeniem.

Krok 3. Wierzchołek $C$. Środek jednokładności przechodzi sam na siebie, więc $C' = C = (1, 3)$.

Krok 4. Skala $3$. $\overrightarrow{CA} = [-1, -3]$, $\overrightarrow{CB} = [3, -3]$:

$A' = (1 - 3,\ 3 - 9) = (-2, -6), \qquad B' = (1 + 9,\ 3 - 9) = (10, -6).$

Krok 5. Skala $-3$. Mnożymy te same wektory przez $-3$:

$A' = (1 + 3,\ 3 + 9) = (4, 12), \qquad B' = (1 - 9,\ 3 + 9) = (-8, 12).$

Krok 6. Kontrola. W obu przypadkach $|A'B'| = 12 = 3 \cdot |AB|$, a bok $A'B'$ leży na prostej poziomej ($y = -6$ albo $y = 12$), równoległej do $AB$. Wysokość z $C'$ to odpowiednio $3 - (-6) = 9$ i $12 - 3 = 9$, więc pole $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ - zgadza się.

Odpowiedź. $k = 3$: $A' = (-2, -6)$, $B' = (10, -6)$; $k = -3$: $A' = (4, 12)$, $B' = (-8, 12)$. W obu przypadkach $C' = (1, 3)$.