Dwa środki jednokładności dwóch okręgów i wewnętrzne styczne wspólne przez punkt (0, 2)

Krok 1. Dane okręgów. $S_1 = (-3, 1)$, $r_1 = 2$; $S_2 = (6, 4)$, $r_2 = 4$. Odległość środków $|S_1S_2| = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx 9{,}49 > r_1 + r_2 = 6$ - okręgi są rozłączne zewnętrznie, więc mają cztery wspólne styczne.

Krok 2. Skale. Jednokładność przeprowadza środek na środek, a promień mnoży przez $|k|$: $|k| = \frac{r_2}{r_1} = 2$, czyli $k = 2$ albo $k = -2$.

Krok 3. Środki jednokładności ze wzoru $S = \frac{kS_1 - S_2}{k - 1}$:

$k = 2\colon\ E = \frac{2 \cdot (-3, 1) - (6, 4)}{1} = (-12, -2), \qquad k = -2\colon\ I = \frac{-2 \cdot (-3, 1) - (6, 4)}{-3} = \frac{(0, -6)}{-3} = (0, 2).$

Kontrola: $I = S_1 + \frac{1}{3}\overrightarrow{S_1S_2} = (-3 + 3,\ 1 + 1) = (0, 2)$ - punkt dzieli odcinek $S_1S_2$ w stosunku $r_1 : r_2 = 1 : 2$.

Krok 4. Wewnętrzne styczne przechodzą przez $I$. Jednokładność o środku $I$ przeprowadza styczną do $o_1$ przechodzącą przez $I$ na nią samą, więc ta prosta jest styczna także do $o_2$. Szukamy prostych $y = ax + 2$, czyli $ax - y + 2 = 0$, odległych od $S_1$ o $2$:

$\frac{|-3a - 1 + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad (1 - 3a)^2 = 4(a^2 + 1) \quad\Longrightarrow\quad 5a^2 - 6a - 3 = 0.$

Krok 5. Rozwiązanie. $\Delta = 36 + 60 = 96$, $\sqrt{\Delta} = 4\sqrt{6}$:

$a = \frac{6 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{3 \pm 2\sqrt{6}}{5}.$

(Prosta pionowa $x = 0$ odpada: jej odległość od $S_1$ to $3 \ne 2$.)

Krok 6. Kontrola dla $o_2$. Odległość $S_2 = (6, 4)$ od prostej $ax - y + 2 = 0$ to $\frac{|6a - 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \cdot \frac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \cdot 2 = 4 = r_2$ - obie proste są styczne także do $o_2$.

Odpowiedź. a) $E = (-12, -2)$ (skala $2$) i $I = (0, 2)$ (skala $-2$). b) Wewnętrzne styczne wspólne: $y = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{5}x + 2$ oraz $y = \frac{3 - 2\sqrt{6}}{5}x + 2$.