Obraz prostej 3x + 4y − 10 = 0 w jednokładności - prosta równoległa i odległości od środka

Krok 1. Własność. Jednokładność przeprowadza prostą na prostą do niej równoległą. Obraz ma więc równanie $3x + 4y + C = 0$ - wystarczy przekształcić jeden punkt prostej $l$.

Krok 2. Punkt prostej $l$. $P = (2, 1)$: $6 + 4 - 10 = 0$.

Krok 3. Skala $2$. $\overrightarrow{SP} = [4, 0]$, $2 \cdot [4, 0] = [8, 0]$, $P' = (-2 + 8,\ 1) = (6, 1)$. Podstawiamy do $3x + 4y + C = 0$: $18 + 4 + C = 0$, $C = -22$.

$l'\colon 3x + 4y - 22 = 0.$

Krok 4. Odległości. Ze wzoru na odległość punktu od prostej ($\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$):

$d(S, l) = \frac{|3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 - 10|}{5} = \frac{12}{5}, \qquad d(S, l') = \frac{|-6 + 4 - 22|}{5} = \frac{24}{5}.$

Odległość od środka wzrosła dwa razy, zgodnie ze skalą. Obie proste leżą po tej samej stronie $S$ (skala dodatnia), więc odległość między nimi to $\frac{24}{5} - \frac{12}{5} = \frac{12}{5}$ (to samo daje wzór $\frac{|-22 - (-10)|}{5}$).

Krok 5. Skala $-\frac{1}{2}$. $-\frac{1}{2} \cdot [4, 0] = [-2, 0]$, więc $P'' = (-4, 1)$. Podstawiamy: $-12 + 4 + C = 0$, $C = 8$:

$l''\colon 3x + 4y + 8 = 0.$

Kontrola: $d(S, l'') = \frac{|-6 + 4 + 8|}{5} = \frac{6}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5}$, a prosta $l''$ leży po drugiej stronie $S$ (wyrażenie $3x + 4y + 8$ ma w $S$ znak dodatni, a $3x + 4y - 10$ - ujemny, przy tym samym kierunku normalnej).

Odpowiedź. a) $l'\colon 3x + 4y - 22 = 0$; $d(S, l) = \frac{12}{5}$, $d(S, l') = \frac{24}{5}$, odległość prostych $\frac{12}{5}$. b) $3x + 4y + 8 = 0$.