Obraz okręgu x² + y² + 4x − 6y + 9 = 0 w jednokładności o skali −2 - środek, promień i pole koła

Krok 1. Środek i promień okręgu $o$. Dopełniamy do kwadratów:

$(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4.$

Środek $O = (-2, 3)$, promień $r = 2$.

Krok 2. Obraz środka okręgu. Liczymy od środka jednokładności $S$, nie od $O$: $\overrightarrow{SO} = [-3, 3]$, $-2 \cdot [-3, 3] = [6, -6]$, więc

$O' = (1 + 6,\ 0 - 6) = (7, -6).$

Krok 3. Promień obrazu. $r' = |k| \cdot r = 2 \cdot 2 = 4$ (promień zawsze dodatni).

Krok 4. Równanie obrazu.

$(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 16 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 - 14x + 12y + 69 = 0,$

bo $49 + 36 - 16 = 69$.

Krok 5. Kontrola na punkcie. Punkt $T = (0, 3)$ leży na $o$ ($9 - 18 + 9 = 0$). Jego obraz: $\overrightarrow{ST} = [-1, 3]$, $-2 \cdot [-1, 3] = [2, -6]$, czyli $(3, -6)$. Sprawdzamy: $(3 - 7)^2 + (-6 + 6)^2 = 16$ - punkt leży na obrazie.

Krok 6. Pola kół. $P = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$, $P' = \pi \cdot 4^2 = 16\pi = k^2 \cdot P$.

Odpowiedź. $(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 16$, czyli $x^2 + y^2 - 14x + 12y + 69 = 0$. Pole koła wzrosło z $4\pi$ do $16\pi$, czyli $k^2 = 4$ razy.