Dwusieczne kątów między prostymi i okrąg wpisany w trójkąt

Klasa 3 liceum i technikum

Dwusieczna kąta to zbiór tych punktów kąta, które są jednakowo oddalone od obu jego ramion. Dla dwóch przecinających się prostych zbiór punktów równo oddalonych od obu prostych to dwie proste - dwusieczne obu par kątów wierzchołkowych - i są one do siebie prostopadłe. W układzie współrzędnych dostajemy je od razu z równania „odległość od pierwszej prostej = odległość od drugiej prostej”, które po opuszczeniu wartości bezwzględnych rozpada się na dwa równania liniowe.

Sam wzór na odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych wyprowadziliśmy w klasie 2, w lekcji równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej. Tutaj go używamy: do wyznaczania prostych o zadanej odległości, dwusiecznych, środka okręgu wpisanego w trójkąt i okręgów stycznych do dwóch prostych. Przyda się też poprzednia lekcja - kąt między prostymi.

Proste równoległe w danej odległości

Proste równoległe do $Ax + By + C = 0$ mają te same $A$ i $B$, różnią się tylko wyrazem wolnym. Warunek odległości $d$ to $\frac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = d$ - równanie z wartością bezwzględną, więc dwie proste, po obu stronach danej.

Przykład 1. Wyznacz proste równoległe do prostej $3x - 4y + 2 = 0$ i odległe od niej o $3$.

Krok 1. Postać szukanej prostej. $3x - 4y + C = 0$.

Krok 2. Warunek odległości. $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, więc

$\frac{|C - 2|}{5} = 3 \quad\Longrightarrow\quad |C - 2| = 15 \quad\Longrightarrow\quad C = 17 \ \text{ lub } \ C = -13.$

Odpowiedź: $3x - 4y + 17 = 0$ oraz $3x - 4y - 13 = 0$.

Punkt na prostej w danej odległości od innej prostej

Punkt leżący na prostej zapisujemy z jednym parametrem, a warunek odległości daje równanie z modułem - zwykle dwa punkty, po jednym z każdej strony drugiej prostej.

Przykład 2. Na prostej $y = 2x$ znajdź punkty odległe o $1$ od prostej $4x - 3y + 1 = 0$.

Krok 1. Punkt z parametrem. $P = (t, 2t)$.

Krok 2. Odległość.

$\frac{|4t - 3 \cdot 2t + 1|}{5} = 1 \quad\Longrightarrow\quad |1 - 2t| = 5 \quad\Longrightarrow\quad t = -2 \ \text{ lub } \ t = 3.$

Odpowiedź: $P_1 = (-2, -4)$ i $P_2 = (3, 6)$. Kontrola dla $P_2$: $\frac{|12 - 18 + 1|}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

Równania dwusiecznych kątów między dwiema prostymi

Punkt $(x, y)$ jest równo oddalony od dwóch prostych, gdy

$\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.$

Równość modułów $|u| = |v|$ oznacza $u = v$ albo $u = -v$ - stąd dwie dwusieczne.

Przykład 3. Wyznacz równania dwusiecznych kątów między prostymi $k\colon 3x + 4y - 11 = 0$ i $l\colon 4x - 3y + 2 = 0$.

Krok 1. Długości wektorów normalnych. $\sqrt{9 + 16} = 5$ i $\sqrt{16 + 9} = 5$ - mianowniki są równe, więc się skracają:

$|3x + 4y - 11| = |4x - 3y + 2|.$

Krok 2. Dwa przypadki.

$3x + 4y - 11 = 4x - 3y + 2 \;\Rightarrow\; x - 7y + 13 = 0, \qquad 3x + 4y - 11 = -(4x - 3y + 2) \;\Rightarrow\; 7x + y - 9 = 0.$

Krok 3. Kontrola. Obie dwusieczne przechodzą przez punkt przecięcia prostych $S = (1, 2)$: $1 - 14 + 13 = 0$ i $7 + 2 - 9 = 0$. Są prostopadłe: $1 \cdot 7 + (-7) \cdot 1 = 0$. (Tu dodatkowo $k \perp l$, więc każda dwusieczna tworzy z $k$ i $l$ kąt $45^\circ$.)

Gdy mianowniki są różne, nie wolno ich pominąć. Dla prostych $y = 0$ i $4x - 3y + 8 = 0$ równanie to $|y| = \frac{|4x - 3y + 8|}{5}$, czyli $5y = \pm(4x - 3y + 8)$. Jak rozpoznać, która z dwóch dwusiecznych dzieli kąt ostry - pokazuje zadanie 3 z zestawu.

Która dwusieczna jest dwusieczną kąta trójkąta

W trójkącie $ABC$ przy wierzchołku $A$ spotykają się proste $AB$ i $AC$. Mają one dwie dwusieczne: wewnętrzną (dzieli kąt trójkąta) i zewnętrzną. Dwa sposoby wyboru:

• Rozdzielanie wierzchołków. Dwusieczna wewnętrzna przecina bok $BC$, więc punkty $B$ i $C$ leżą po jej przeciwnych stronach: wartości lewej strony jej równania w $B$ i w $C$ mają przeciwne znaki. Dla dwusiecznej zewnętrznej - te same znaki.
• Znaki z wnętrza kąta. Punkty wnętrza kąta $BAC$ leżą po tej samej stronie prostej $AB$ co $C$ i po tej samej stronie prostej $AC$ co $B$. Ustalamy te znaki i opuszczamy moduły tylko w jeden sposób.

Okrąg wpisany w trójkąt - środek i promień

Środek okręgu wpisanego $I$ jest równo oddalony od wszystkich trzech boków, więc leży na dwusiecznych kątów wewnętrznych. Wystarczy przeciąć dwie z nich, a promień to odległość $I$ od dowolnego boku.

Przykład 4. Wyznacz równanie okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach $A = (-4, -2)$, $B = (10, -2)$ i $C = (1, 10)$.

Krok 1. Równania boków.

$AB\colon\ y + 2 = 0, \qquad AC\colon\ 12x - 5y + 38 = 0, \qquad BC\colon\ 4x + 3y - 34 = 0.$

(Na przykład $AC$: wektor $\overrightarrow{AC} = [5, 12]$ daje wektor normalny $[12, -5]$ i równanie $12(x + 4) - 5(y + 2) = 0$.) Długości wektorów normalnych: $1$, $13$ i $5$.

Krok 2. Dwusieczna kąta $A$. Znaki: w punkcie $C$ wyrażenie $y + 2$ ma wartość $12 > 0$, a w punkcie $B$ wyrażenie $12x - 5y + 38$ ma wartość $168 > 0$. Wnętrze kąta $A$ to punkty, w których oba wyrażenia są dodatnie, więc moduły opuszczamy bez zmiany znaku:

$y + 2 = \frac{12x - 5y + 38}{13} \;\Longrightarrow\; 13y + 26 = 12x - 5y + 38 \;\Longrightarrow\; 2x - 3y + 2 = 0.$

Krok 3. Dwusieczna kąta $B$. W punkcie $C$: $y + 2 = 12 > 0$; w punkcie $A$: $4 \cdot (-4) + 3 \cdot (-2) - 34 = -56 < 0$. Wnętrze kąta $B$: $y + 2 > 0$ oraz $4x + 3y - 34 < 0$, więc

$y + 2 = \frac{-(4x + 3y - 34)}{5} \;\Longrightarrow\; 5y + 10 = -4x - 3y + 34 \;\Longrightarrow\; x + 2y - 6 = 0.$

Krok 4. Środek $I$. Z układu $2x - 3y + 2 = 0$ i $x + 2y - 6 = 0$: $x = 6 - 2y$, więc $12 - 4y - 3y + 2 = 0$, $y = 2$, $x = 2$. Zatem $I = (2, 2)$.

Krok 5. Promień. Odległość $I$ od boku $AB$: $r = |2 + 2| = 4$. Kontrola od $BC$: $\frac{|8 + 6 - 34|}{5} = 4$, od $AC$: $\frac{|24 - 10 + 38|}{13} = \frac{52}{13} = 4$.

Odpowiedź: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Kontrola dwoma wzorami. Boki: $a = |BC| = 15$, $b = |CA| = 13$, $c = |AB| = 14$, obwód $42$, pole $P = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$. Wtedy $r = \frac{2P}{a + b + c} = \frac{168}{42} = 4$ oraz

$I = \left( \frac{15 \cdot (-4) + 13 \cdot 10 + 14 \cdot 1}{42},\ \frac{15 \cdot (-2) + 13 \cdot (-2) + 14 \cdot 10}{42} \right) = \left( \frac{84}{42},\ \frac{84}{42} \right) = (2, 2).$

Wzór „wagowy” (każdy wierzchołek mnożymy przez długość boku naprzeciw niego) jest najszybszy, gdy długości boków wychodzą całkowite. Metoda dwusiecznych działa zawsze, także gdy znamy tylko równania boków.

Okrąg styczny do dwóch prostych

Środek okręgu stycznego do dwóch prostych jest od nich jednakowo oddalony o promień $r$:

• dla prostych równoległych środek leży na prostej środkowej (w połowie odległości), a $r$ jest równe połowie odległości między prostymi;
• dla prostych przecinających się środek leży na jednej z dwóch dwusiecznych - stąd często kilka okręgów spełniających warunki zadania.

Przykład 5. Wyznacz okrąg styczny do prostych $2x - y + 3 = 0$ i $2x - y - 7 = 0$, którego środek leży na osi $OY$.

Krok 1. Promień. Odległość prostych: $d = \frac{|3 - (-7)|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$, więc $r = \sqrt{5}$.

Krok 2. Prosta środkowa. Wyraz wolny to średnia $\frac{3 + (-7)}{2} = -2$: $2x - y - 2 = 0$.

Krok 3. Środek na osi $OY$. Dla $x = 0$: $-y - 2 = 0$, więc $S = (0, -2)$.

Odpowiedź: $x^2 + (y + 2)^2 = 5$. Punkty styczności to rzuty środka na proste: $T_1 = (-2, -1)$ i $T_2 = (2, -3)$.

Przykład 6 - cztery okręgi. Okręgi o promieniu $2$ styczne do obu prostych z przykładu 3 mają środki na dwusiecznych $x - 7y + 13 = 0$ i $7x + y - 9 = 0$, w odległości $2$ od prostej $k$. Na pierwszej dwusiecznej $x = 7y - 13$, więc

$\frac{|3(7y - 13) + 4y - 11|}{5} = \frac{|25y - 50|}{5} = 5|y - 2| = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 \pm \frac{2}{5}.$

Tak samo na drugiej dwusiecznej $y = 9 - 7x$ wychodzi $5|1 - x| = 2$. Razem cztery środki - po jednym w każdym z czterech kątów między prostymi:

Typowe błędy

• Skracanie różnych mianowników. W równaniu dwusiecznych $\sqrt{A_1^2 + B_1^2}$ i $\sqrt{A_2^2 + B_2^2}$ można pominąć tylko wtedy, gdy są równe.
• Jedna dwusieczna zamiast dwóch. Równanie z modułami zawsze daje dwie proste; o tym, którą wybrać, decydują warunki zadania (kąt ostry, kąt trójkąta, ćwiartka).
• Dwusieczna zewnętrzna zamiast wewnętrznej. Sprawdź, czy dwa pozostałe wierzchołki leżą po przeciwnych stronach wybranej prostej.
• Środek okręgu wpisanego jako średnia wierzchołków. Średnia arytmetyczna współrzędnych to środek ciężkości, a nie środek okręgu wpisanego - w wzorze na $I$ są wagi $a, b, c$.
• Mylenie wag. Wierzchołek $A$ mnożymy przez bok naprzeciw niego, czyli $a = |BC|$, nie przez $|AB|$.
• Proste równoległe w odległości $d$ - tylko jedna. Są dwie, po obu stronach danej prostej.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie dwusiecznej kąta w układzie współrzędnych? Zapisz, że punkt $(x, y)$ jest równo oddalony od obu ramion: $\frac{|A_1x + B_1y + C_1|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{|A_2x + B_2y + C_2|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$. Opuszczenie modułów daje dwie proste - wybierz tę, która dzieli właściwy kąt.

Dlaczego dwie proste mają dwie dwusieczne? Przecinające się proste tworzą cztery kąty, w dwóch parach kątów wierzchołkowych. Każda para ma swoją dwusieczną, a obie dwusieczne są prostopadłe, bo połowy kątów $\varphi$ i $180^\circ - \varphi$ sumują się do $90^\circ$.

Jak wyznaczyć środek okręgu wpisanego w trójkąt ze współrzędnych wierzchołków? Najszybciej wzorem $I = \left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a + b + c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a + b + c}\right)$, gdzie $a, b, c$ to długości boków naprzeciw $A, B, C$. Drugi sposób: przecięcie dwóch dwusiecznych kątów wewnętrznych.

Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt w układzie współrzędnych? Jako odległość środka $I$ od dowolnego boku albo ze wzoru $r = \frac{2P}{a + b + c}$, gdzie $P$ to pole trójkąta. Dobrze jest policzyć oba - to darmowa kontrola.

Jak znaleźć prostą równoległą do danej w odległości d? Zostaw $A$ i $B$, zmień wyraz wolny: $Ax + By + C' = 0$, gdzie $|C' - C| = d\sqrt{A^2 + B^2}$. Wychodzą dwie proste.

Czym się różni środek okręgu wpisanego od środka okręgu opisanego? Środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów i jest równo oddalony od boków. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków i jest równo oddalony od wierzchołków.

Przećwicz

• Dwusieczne i okrąg wpisany - zadania → - proste równoległe w danej odległości, punkty równo oddalone od dwóch prostych, dwusieczna kąta ostrego, okrąg styczny do prostych równoległych i do prostych przecinających się, okrąg wpisany w trójkąt i dwusieczna kąta trójkąta.
• Na start: proste równoległe w odległości 2, okrąg wpisany w trójkąt prostokątny, dwa okręgi styczne do dwóch prostych przez punkt.
• Dalej: pole trójkąta i wielokąta ze współrzędnych wierzchołków - pole bez liczenia wysokości.

Podsumowanie

• Zbiór punktów równo oddalonych od dwóch przecinających się prostych to dwie prostopadłe dwusieczne; ich równania daje równość odległości z modułami.
• Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta rozdziela dwa pozostałe wierzchołki (przeciwne znaki).
• Środek okręgu wpisanego: przecięcie dwusiecznych albo $I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c}$; promień: odległość $I$ od boku albo $r = \frac{2P}{a + b + c}$.
• Okrąg styczny do dwóch prostych równoległych: środek na prostej środkowej, $r = \frac{d}{2}$; do przecinających się - środek na dwusiecznej.
• Proste równoległe w odległości $d$: $|C' - C| = d\sqrt{A^2 + B^2}$ - dwie odpowiedzi.

Zobacz też

• Kąt między prostymi - poprzednia lekcja: wzór z tangensem i z wektorów normalnych.
• Równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej - klasa 2: wyprowadzenie wzoru na odległość i odległość prostych równoległych.
• Okrąg wpisany w trójkąt - własności dwusiecznych i okręgu wpisanego bez układu współrzędnych.
• Wektory i geometria analityczna - spis wszystkich lekcji rozdziału.