Równania dwusiecznych kątów między osią OX a prostą 4x − 3y + 8 = 0 - która dzieli kąt ostry

Krok 1. Równość odległości. Wektor normalny $k$ to $[0, 1]$ (długość $1$), wektor normalny $l$ to $[4, -3]$ (długość $5$). Punkt $(x, y)$ leży na dwusiecznej, gdy

$\frac{|y|}{1} = \frac{|4x - 3y + 8|}{5}.$

Mianowniki są różne - nie wolno ich pominąć.

Krok 2. Dwa przypadki.

$5y = 4x - 3y + 8 \;\Rightarrow\; 4x - 8y + 8 = 0 \;\Rightarrow\; x - 2y + 2 = 0,$

$5y = -(4x - 3y + 8) \;\Rightarrow\; 4x + 2y + 8 = 0 \;\Rightarrow\; 2x + y + 4 = 0.$

Krok 3. Kontrola. Proste $k$ i $l$ przecinają się w $S = (-2, 0)$; obie dwusieczne przez niego przechodzą: $-2 - 0 + 2 = 0$ i $-4 + 0 + 4 = 0$. Są prostopadłe: $1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 0$.

Krok 4. Kąt ostry między prostymi. Prosta $l\colon y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$ tworzy z osią $OX$ kąt $\varphi$, dla którego $\operatorname{tg} \varphi = \frac{4}{3}$, czyli $\varphi \approx 53{,}13^\circ$ (to kąt ostry). Dwusieczna tego kąta jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $\frac{\varphi}{2}$. Ze wzoru na tangens połowy kąta ($\cos \varphi = \frac{3}{5}$, $\sin \varphi = \frac{4}{5}$):

$\operatorname{tg} \frac{\varphi}{2} = \frac{1 - \cos \varphi}{\sin \varphi} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{2}.$

Współczynnik kierunkowy $\frac{1}{2}$ ma dwusieczna $x - 2y + 2 = 0$, czyli $y = \frac{1}{2}x + 1$. Druga, $y = -2x - 4$, dzieli kąt rozwarty $180^\circ - \varphi \approx 126{,}87^\circ$.

Odpowiedź. a) $x - 2y + 2 = 0$ i $2x + y + 4 = 0$; b) dwusieczną kąta ostrego jest $x - 2y + 2 = 0$.