Punkty na osi OX równo oddalone od dwóch prostych - przez równanie dwusiecznych

Krok 1. Punkt z parametrem. Punkt osi $OX$ to $P = (t, 0)$.

Krok 2. Odległości. Obie proste mają wektory normalne długości $5$:

$d(P, k) = \frac{|3t + 1|}{5}, \qquad d(P, l) = \frac{|4t - 7|}{5}.$

Krok 3. Równanie. $|3t + 1| = |4t - 7|$, czyli $3t + 1 = 4t - 7$ albo $3t + 1 = -(4t - 7)$:

$t = 8 \qquad\text{lub}\qquad 7t = 6 \;\Rightarrow\; t = \frac{6}{7}.$

Krok 4. Odległości. Dla $P_1 = (8, 0)$: $\frac{|25|}{5} = 5$ i $\frac{|25|}{5} = 5$. Dla $P_2 = \left(\frac{6}{7}, 0\right)$: $\frac{\left|\frac{18}{7} + 1\right|}{5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ i $\frac{\left|\frac{24}{7} - 7\right|}{5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

Krok 5. Interpretacja. Punkty równo oddalone od $k$ i $l$ to dwie dwusieczne: $3x - 4y + 1 = \pm(4x + 3y - 7)$, czyli $x + 7y - 8 = 0$ i $7x - y - 6 = 0$. Pierwsza przecina oś $OX$ w $(8, 0)$, druga - w $\left(\frac{6}{7}, 0\right)$. Dlatego wyszły dokładnie dwa punkty.

Odpowiedź. $P_1 = (8, 0)$, odległość $5$; $P_2 = \left(\frac{6}{7}, 0\right)$, odległość $\frac{5}{7}$.