Okręgi styczne do prostych y = ½x i y = 2x przechodzące przez punkt P = (6, 7) - dwa okręgi

Krok 1. Gdzie leży środek. Środek okręgu stycznego do $k$ i $l$ jest równo oddalony od obu prostych, więc leży na jednej z dwusiecznych. Obie proste mają wektory normalne długości $\sqrt{5}$:

$|x - 2y| = |2x - y| \;\Longrightarrow\; x - 2y = 2x - y \ \ (y = -x) \quad\text{lub}\quad x - 2y = -(2x - y) \ \ (y = x).$

Krok 2. Środek na dwusiecznej $y = x$. $S = (t, t)$, promień to odległość od $k$: $r = \frac{|t - 2t|}{\sqrt{5}} = \frac{|t|}{\sqrt{5}}$. Warunek $|SP| = r$, po podniesieniu do kwadratu:

$(6 - t)^2 + (7 - t)^2 = \frac{t^2}{5} \;\Longrightarrow\; 5(2t^2 - 26t + 85) = t^2 \;\Longrightarrow\; 9t^2 - 130t + 425 = 0.$

Krok 3. Rozwiązanie. $\Delta = 130^2 - 4 \cdot 9 \cdot 425 = 16900 - 15300 = 1600$, $\sqrt{\Delta} = 40$:

$t = \frac{130 - 40}{18} = 5 \qquad\text{lub}\qquad t = \frac{130 + 40}{18} = \frac{85}{9}.$

• $t = 5$: $S_1 = (5, 5)$, $r_1 = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$;
• $t = \frac{85}{9}$: $S_2 = \left(\frac{85}{9}, \frac{85}{9}\right)$, $r_2 = \frac{85}{9\sqrt{5}} = \frac{17\sqrt{5}}{9}$, $r_2^2 = \frac{1445}{81}$.

Krok 4. Środek na dwusiecznej $y = -x$. $S = (t, -t)$, $r = \frac{|t + 2t|}{\sqrt{5}} = \frac{3|t|}{\sqrt{5}}$:

$(6 - t)^2 + (7 + t)^2 = \frac{9t^2}{5} \;\Longrightarrow\; t^2 + 10t + 425 = 0, \qquad \Delta = 100 - 1700 < 0.$

Brak rozwiązań - to zrozumiałe: punkt $P$ leży w kącie między prostymi, który dzieli dwusieczna $y = x$, i okrąg przez $P$ nie może mieć środka w sąsiednim kącie.

Krok 5. Kontrola dla $S_1$. $|S_1P| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} = r_1$. Punkty styczności to rzuty $S_1$ na proste: $(6, 3)$ na $k$ i $(3, 6)$ na $l$, oba w odległości $\sqrt{5}$ od $S_1$.

Odpowiedź. $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5$ oraz $\left(x - \frac{85}{9}\right)^2 + \left(y - \frac{85}{9}\right)^2 = \frac{1445}{81}$.