Proste równoległe do prostej 5x − 12y + 3 = 0 odległe od niej o 2 - dwa rozwiązania

Krok 1. Postać szukanej prostej. Prosta równoległa do $k$ ma ten sam wektor normalny $[5, -12]$, więc różni się tylko wyrazem wolnym: $5x - 12y + C = 0$.

Krok 2. Odległość prostych równoległych. Przy tych samych $A$ i $B$:

$d = \frac{|C - 3|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|C - 3|}{13}.$

Krok 3. Równanie.

$\frac{|C - 3|}{13} = 2 \quad\Longrightarrow\quad |C - 3| = 26 \quad\Longrightarrow\quad C = 29 \ \text{ lub } \ C = -23.$

Krok 4. Kontrola punktem. Prosta $5x - 12y + 29 = 0$ przecina oś $OX$ w punkcie $\left(-\frac{29}{5}, 0\right)$. Jego odległość od $k$:

$\frac{\left|5 \cdot \left(-\frac{29}{5}\right) - 0 + 3\right|}{13} = \frac{|-26|}{13} = 2.$

Tak samo punkt $\left(\frac{23}{5}, 0\right)$ drugiej prostej: $\frac{|23 + 3|}{13} = 2$.

Odpowiedź. $5x - 12y + 29 = 0$ oraz $5x - 12y - 23 = 0$ - po jednej prostej z każdej strony prostej $k$.