Równanie dwusiecznej kąta trójkąta ze współrzędnych wierzchołków i punkt jej przecięcia z bokiem

Krok 1. Proste boków przy $A$. Bok $AC$ leży na prostej $y = 1$, czyli $y - 1 = 0$. Bok $AB$: $\overrightarrow{AB} = [3, 4]$, wektor normalny $[4, -3]$, więc $4(x + 1) - 3(y - 1) = 0$, czyli $4x - 3y + 7 = 0$ (kontrola dla $B$: $8 - 15 + 7 = 0$).

Krok 2. Znaki we wnętrzu kąta. W punkcie $C$: $4 \cdot 11 - 3 + 7 = 48 > 0$. W punkcie $B$: $y - 1 = 4 > 0$. We wnętrzu kąta $BAC$ oba wyrażenia są dodatnie.

Krok 3. Równanie dwusiecznej.

$\frac{4x - 3y + 7}{5} = \frac{y - 1}{1} \;\Longrightarrow\; 4x - 3y + 7 = 5y - 5 \;\Longrightarrow\; x - 2y + 3 = 0.$

Druga możliwość, $4x - 3y + 7 = -5(y - 1)$, daje $2x + y + 1 = 0$ - dwusieczną zewnętrzną. Rzeczywiście $B$ i $C$ leżą po tej samej jej stronie ($2 \cdot 2 + 5 + 1 > 0$ i $22 + 1 + 1 > 0$), a po przeciwnych stronach prostej $x - 2y + 3 = 0$ ($2 - 10 + 3 < 0$, $11 - 2 + 3 > 0$).

Krok 4. Kontrola wektorami jednostkowymi. $|AB| = 5$, $|AC| = 12$. Suma wektorów jednostkowych wzdłuż ramion wskazuje kierunek dwusiecznej:

$\frac{1}{5}[3, 4] + \frac{1}{12}[12, 0] = \left[\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right] \parallel [2, 1].$

Prosta przez $A$ o kierunku $[2, 1]$ ma współczynnik $\frac{1}{2}$: $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 1)$, czyli $x - 2y + 3 = 0$ - zgadza się.

Krok 5. Punkt $D$ z twierdzenia o dwusiecznej. Dwusieczna dzieli bok $BC$ w stosunku długości ramion: $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{12}$. Punkt dzielący odcinek $BC$ w stosunku $5 : 12$:

$D = \frac{12B + 5C}{17} = \left( \frac{24 + 55}{17},\ \frac{60 + 5}{17} \right) = \left( \frac{79}{17},\ \frac{65}{17} \right).$

Krok 6. Kontrola. $D$ leży na dwusiecznej: $\frac{79}{17} - \frac{130}{17} + \frac{51}{17} = 0$. Leży też na prostej $BC\colon 4x + 9y - 53 = 0$: $\frac{316 + 585}{17} = 53$.

Odpowiedź. a) $x - 2y + 3 = 0$; b) $D = \left(\frac{79}{17}, \frac{65}{17}\right)$.