Okrąg styczny do dwóch prostych równoległych, którego środek leży na prostej y = x + 5

Krok 1. Proste są równoległe. Mają ten sam wektor normalny $[3, 4]$, a różne wyrazy wolne.

Krok 2. Promień. Okrąg styczny do obu prostych mieści się między nimi, więc jego średnica to odległość prostych:

$d = \frac{|-2 - 18|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4, \qquad r = \frac{d}{2} = 2.$

Krok 3. Prosta środkowa. Środek jest równo oddalony od $k$ i $l$, więc leży na prostej równoległej do nich „w połowie drogi” - jej wyraz wolny to średnia: $\frac{-2 + 18}{2} = 8$, czyli $3x + 4y + 8 = 0$.

Krok 4. Środek. Podstawiamy $y = x + 5$:

$3x + 4(x + 5) + 8 = 0 \;\Rightarrow\; 7x + 28 = 0 \;\Rightarrow\; x = -4, \quad y = 1.$

Zatem $S = (-4, 1)$. Kontrola: $d(S, k) = \frac{|-12 + 4 - 2|}{5} = 2$ i $d(S, l) = \frac{|-12 + 4 + 18|}{5} = 2$.

Krok 5. Punkty styczności. Leżą na prostej przez $S$ prostopadłej do $k$ i $l$, w odległości $2$ od $S$, czyli $S \pm \frac{2}{5}[3, 4]$:

$T_1 = \left(-4 + \frac{6}{5},\ 1 + \frac{8}{5}\right) = (-2{,}8;\ 2{,}6), \qquad T_2 = (-4 - 1{,}2;\ 1 - 1{,}6) = (-5{,}2;\ -0{,}6).$

Kontrola: $3 \cdot (-2{,}8) + 4 \cdot 2{,}6 - 2 = 0$ oraz $3 \cdot (-5{,}2) + 4 \cdot (-0{,}6) + 18 = 0$.

Odpowiedź. $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 4$; punkty styczności $(-2{,}8;\ 2{,}6)$ na prostej $k$ i $(-5{,}2;\ -0{,}6)$ na prostej $l$.