Wektory i geometria analityczna - kurs, klasa 3: kąty, odległości, pola, przekształcenia

Klasa 3 liceum i technikum

Wektor w układzie współrzędnych to para liczb $[a, b]$, która mówi, o ile przesunąć się w poziomie i w pionie. W klasie trzeciej wektory stają się głównym narzędziem geometrii analitycznej: jeden rachunek - iloczyn skalarny $\vec{u} \circ \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ - rozstrzyga, czy proste są prostopadłe i jaki kąt tworzą boki trójkąta, a wyznacznik$u_1 v_2 - u_2 v_1$ daje pole trójkąta i warunek równoległości bez liczenia wysokości.

Ten dział jest ciągiem dalszym rozdziału z klasy drugiej. Tam poznaliśmy długość i środek odcinka, równanie prostej, odległość punktu od prostej, równanie okręgu i punkty wspólne figur - tutaj z tych wyników korzystamy i ich nie powtarzamy. Nowe są wektorowe metody liczenia kątów, pól i obrazów figur w przekształceniach oraz zadania, w których najlepszy punkt albo największe pole znajduje się pochodną.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• dzielić odcinek w danym stosunku i rozpoznawać wektory równoległe;
• liczyć iloczyn skalarny i z niego kąt między wektorami, także kąty trójkąta;
• wyznaczać kąt między prostymi wzorem z tangensem albo z wektorów normalnych;
• znajdować dwusieczne kątów między prostymi i okrąg wpisany w trójkąt;
• obliczać pole trójkąta i wielokąta ze współrzędnych wierzchołków (wyznacznik, wzór Gaussa);
• prowadzić styczne do okręgu z punktu i wspólne styczne dwóch okręgów;
• rozwiązywać zadania z kwadratem, rombem i trójkątem równobocznym metodą wektorową;
• wyznaczać obrazy punktów, prostych i okręgów w przesunięciu, symetriach, obrocie i jednokładności;
• rozwiązywać zadania optymalizacyjne w układzie współrzędnych z użyciem pochodnej.

Warto wcześniej znać rozdział geometria analityczna z klasy 2 (zwłaszcza równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej oraz punkty wspólne prostych i okręgów), wektor w układzie współrzędnych, twierdzenie cosinusów oraz - do ostatniej lekcji - zadania optymalizacyjne z pochodną.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku w zestawie geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami. Najważniejsze wzory w jednym miejscu zebrano na stronie geometria analityczna - wzory.