Styczne do okręgu z punktu i wspólne styczne dwóch okręgów

Klasa 3 liceum i technikum

Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny - punkt styczności. W geometrii analitycznej rozpoznajemy ją po tym, że odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dwie styczne, z punktu na okręgu - jedną, z punktu wewnątrz - żadnej. Dwa okręgi mogą mieć od zera do czterech wspólnych stycznych, zależnie od tego, jak są położone.

W klasie drugiej poznaliśmy punkty wspólne prostej i okręgu i równanie okręgu, a w zadaniach - styczną w danym punkcie okręgu i styczne równoległe do prostej. Teraz zajmiemy się trudniejszymi pytaniami: styczną przez punkt spoza okręgu, okręgiem stycznym do prostej w wyznaczonym miejscu i stycznymi wspólnymi dla dwóch okręgów. Wszędzie pracuje ten sam wzór na odległość punktu od prostej.

Przypomnienie: kiedy prosta jest styczna, a kiedy okręgi są styczne

Obie klasyfikacje sprowadzają się do porównania jednej odległości z promieniami. Dla prostej $k$ i okręgu o środku $S$ i promieniu $r$ liczymy $d = d(S, k)$; dla dwóch okręgów - odległość środków $|S_1S_2|$.

Ostatnia kolumna to nowość tej lekcji. Szczegółowo o pięciu położeniach dwóch okręgów pisaliśmy w lekcji wzajemne położenie dwóch okręgów.

Styczne z punktu leżącego poza okręgiem

Metoda jest zawsze ta sama: zapisujemy wszystkie proste przechodzące przez $P$ z jednym parametrem (współczynnikiem kierunkowym $a$) i żądamy, żeby odległość środka od prostej była równa promieniowi. Wychodzi równanie z niewiadomą $a$.

Przykład 1. Wyznacz równania stycznych do okręgu $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$ przechodzących przez punkt $P = (7, 1)$, punkty styczności i kąt między stycznymi.

Krok 1. Czy $P$ leży na zewnątrz? $S = (2, 1)$, $r = \sqrt{5}$, a $|PS| = 5 > \sqrt{5}$ - tak, więc będą dwie styczne.

Krok 2. Prosta przez $P$ z parametrem. $y - 1 = a(x - 7)$, czyli w postaci ogólnej $ax - y + 1 - 7a = 0$.

Krok 3. Warunek styczności $d(S, k) = r$.

$\frac{|2a - 1 + 1 - 7a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{5} \quad\Longrightarrow\quad |5a| = \sqrt{5}\sqrt{a^2 + 1} \quad\Longrightarrow\quad 25a^2 = 5a^2 + 5.$

Stąd $a^2 = \frac{1}{4}$, czyli $a = \frac{1}{2}$ albo $a = -\frac{1}{2}$. Prosta pionowa $x = 7$ jest odległa od $S$ o $5 \ne \sqrt{5}$, więc nie jest styczną.

Krok 4. Równania stycznych. $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$ oraz $y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$.

Krok 5. Punkty styczności to rzuty środka $S$ na styczne. Dla $x - 2y - 5 = 0$ prosta prostopadła przez $S$ to $y = -2x + 5$; układ daje $T_1 = (3, -1)$. Analogicznie dla $x + 2y - 9 = 0$ dostajemy $T_2 = (3, 3)$. Kontrola: $(3 - 2)^2 + (-1 - 1)^2 = 5$ i $(3 - 2)^2 + (3 - 1)^2 = 5$.

Krok 6. Kąt między stycznymi. Ze wzoru $\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{|PS|} = \frac{\sqrt{5}}{5}$, albo ze współczynników kierunkowych:

$\operatorname{tg}\varphi = \left|\frac{a_1 - a_2}{1 + a_1a_2}\right| = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}, \qquad \varphi \approx 53{,}13^\circ.$

Odpowiedź. Styczne: $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$ (punkt styczności $(3, -1)$) i $y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$ (punkt styczności $(3, 3)$); kąt między nimi $\varphi$ spełnia $\operatorname{tg}\varphi = \frac{4}{3}$, $\varphi \approx 53{,}13^\circ$. Odcinki stycznych mają długość $\sqrt{25 - 5} = 2\sqrt{5}$.

Wzór na kąt między prostymi z ich współczynników kierunkowych wyprowadzamy w lekcji kąt między prostymi.

Pułapka: styczna pionowa

Równanie $y - y_0 = a(x - x_0)$ opisuje każdą prostą przez $P$ oprócz pionowej $x = x_0$, bo prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Jeśli jedna ze stycznych jest pionowa, rachunek z parametrem da tylko jedno rozwiązanie - i to jest sygnał, żeby sprawdzić prostą $x = x_0$.

Przykład 2. Wyznacz styczne do okręgu $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ przechodzące przez punkt $P = (3, 5)$.

Krok 1. $S = (1, 1)$, $r = 2$, $|PS| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5} > 2$ - dwie styczne.

Krok 2. Prosta z parametrem. $y - 5 = a(x - 3)$, czyli $ax - y + 5 - 3a = 0$.

Krok 3. Warunek styczności.

$\frac{|a - 1 + 5 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad (4 - 2a)^2 = 4(a^2 + 1) \quad\Longrightarrow\quad 16 - 16a = 4.$

Wyrazy $4a^2$ się redukują i zostaje równanie liniowe: $a = \frac{3}{4}$. Tylko jedno rozwiązanie, choć styczne mają być dwie.

Krok 4. Prosta pionowa. $x = 3$ jest odległa od $S = (1, 1)$ o $|3 - 1| = 2 = r$ - to druga styczna.

Krok 5. Punkty styczności. Dla $x = 3$: $T_1 = (3, 1)$. Dla $y = \frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$, czyli $3x - 4y + 11 = 0$, rzut środka: $T_2 = \left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

Odpowiedź. Styczne: $x = 3$ oraz $3x - 4y + 11 = 0$. Długość odcinków stycznych to $\sqrt{20 - 4} = 4$ - widać to od razu dla stycznej pionowej: $|PT_1| = 5 - 1 = 4$.

Rachunek tylko „gubi” prostą pionową, nigdy nie dodaje fałszywej. Gdy z równania na $a$ wychodzi równanie liniowe (współczynnik przy $a^2$ się zeruje), jedna styczna na pewno jest pionowa.

Okrąg styczny do prostej w danym punkcie

Jeśli okrąg ma być styczny do prostej $k$ w punkcie $T$, to jego środek leży na prostej prostopadłej do $k$ przechodzącej przez $T$ (promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej). Druga informacja z treści - punkt na okręgu, prosta ze środkiem, promień - wyznacza środek na tej prostopadłej.

Przykład 3. Wyznacz równanie okręgu stycznego do prostej $y = x + 1$ w punkcie $T = (1, 2)$ i przechodzącego przez punkt $A = (5, 2)$.

Krok 1. Prostopadła przez $T$. Ma współczynnik $-1$: $y - 2 = -(x - 1)$, czyli $y = -x + 3$.

Krok 2. Środek jest równo oddalony od $T$ i $A$, więc leży też na symetralnej odcinka $TA$. Odcinek jest poziomy, więc symetralna to $x = 3$.

Krok 3. Środek i promień. $S = (3, -3 + 3) = (3, 0)$, $r = |ST| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$. Kontrola: $|SA| = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$, a odległość $S$ od $x - y + 1 = 0$ wynosi $\frac{|3 - 0 + 1|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $(x - 3)^2 + y^2 = 8$.

Okrąg przez dwa punkty styczny do prostej

Gdy punkt styczności nie jest znany, zapisujemy środek z niewiadomymi i układamy równania: odległość środka od każdego z danych punktów i od prostej ma być ta sama. Zwykle wychodzą dwa okręgi.

Przykład 4. Wyznacz okręgi przechodzące przez punkty $A = (1, 2)$ i $B = (3, 4)$, styczne do osi $OX$.

Krok 1. Środek nad osią. Okrąg styczny do osi $OX$ i przechodzący przez punkty o dodatnich rzędnych ma środek $S = (p, q)$ z $q > 0$ i promień $r = q$ (odległość od osi).

Krok 2. Dwa warunki.

$(1 - p)^2 + (2 - q)^2 = q^2 \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{p^2 - 2p + 5}{4},$

$(3 - p)^2 + (4 - q)^2 = q^2 \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{p^2 - 6p + 25}{8}.$

Krok 3. Przyrównujemy. $2(p^2 - 2p + 5) = p^2 - 6p + 25$, czyli $p^2 + 2p - 15 = 0$, skąd $p = 3$ albo $p = -5$. Odpowiednio $q = 2$ albo $q = 10$.

Odpowiedź. Dwa okręgi: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ oraz $(x + 5)^2 + (y - 10)^2 = 100$. Kontrola dla drugiego: $36 + 64 = 100$ (punkt $A$) i $64 + 36 = 100$ (punkt $B$).

Wspólne styczne dwóch okręgów

Wspólna styczna dwóch okręgów to prosta styczna jednocześnie do obu. Rozróżniamy dwa rodzaje:

• styczna zewnętrzna - oba okręgi leżą po tej samej stronie prostej;
• styczna wewnętrzna - okręgi leżą po przeciwnych stronach prostej (prosta „przechodzi między nimi” i przecina odcinek $S_1S_2$).

Ile ich jest, mówi tabela z początku lekcji: okręgi rozłączne zewnętrznie mają 4 wspólne styczne (2 zewnętrzne i 2 wewnętrzne), styczne zewnętrznie - 3, przecinające się - 2 (tylko zewnętrzne), styczne wewnętrznie - 1, a okrąg leżący wewnątrz drugiego - żadnej.

Metoda rachunkowa. Szukamy prostej $y = ax + b$ z dwoma warunkami $d(S_1, k) = r_1$ i $d(S_2, k) = r_2$. Oba mianowniki są równe $\sqrt{a^2 + 1}$, więc dzielimy równania stronami i dostajemy warunek bez pierwiastka. Na koniec sprawdzamy prostą pionową.

Przykład 5. Wyznacz wszystkie wspólne styczne okręgów $x^2 + y^2 = 4$ i $(x - 5)^2 + y^2 = 4$.

Krok 1. Ile ich będzie? $S_1 = (0, 0)$, $S_2 = (5, 0)$, $r_1 = r_2 = 2$, $|S_1S_2| = 5 > 4$ - okręgi rozłączne zewnętrznie, więc cztery wspólne styczne.

Krok 2. Warunki dla $ax - y + b = 0$.

$\frac{|b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2, \qquad \frac{|5a + b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad |b| = |5a + b|.$

Krok 3. Dwa przypadki. Albo $b = 5a + b$, czyli $a = 0$ - wtedy $|b| = 2$ i mamy styczne zewnętrzne $y = 2$ oraz $y = -2$. Albo $b = -(5a + b)$, czyli $b = -\frac{5}{2}a$ - to proste przechodzące przez środek $M = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$ odcinka $S_1S_2$, czyli styczne wewnętrzne.

Krok 4. Styczne wewnętrzne. Z pierwszego warunku:

$\frac{\frac{5}{2}|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{4}a^2 = 4a^2 + 4 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{16}{9}.$

Zatem $a = \pm\frac{4}{3}$ i $b = \mp\frac{10}{3}$.

Odpowiedź. Wspólne styczne: $y = 2$, $y = -2$, $4x - 3y - 10 = 0$ i $4x + 3y - 10 = 0$. Kontrola dla $4x - 3y - 10 = 0$: $d(S_1) = \frac{10}{5} = 2$ i $d(S_2) = \frac{|20 - 10|}{5} = 2$.

Przy równych promieniach styczne zewnętrzne są zawsze równoległe do prostej środków, a wewnętrzne przechodzą przez środek odcinka $S_1S_2$. Przy różnych promieniach styczne zewnętrzne przecinają się w punkcie $E$ leżącym na prostej $S_1S_2$, który dzieli ten odcinek zewnętrznie w stosunku $r_1 : r_2$ (to środek jednokładności okręgów - zob. lekcję o jednokładności).

Przykład 6. Okręgi $x^2 + y^2 = 16$ i $(x - 5)^2 + y^2 = 1$ są styczne zewnętrznie ($|S_1S_2| = 5 = 4 + 1$). Wyznacz ich wspólne styczne.

Krok 1. Styczna w punkcie styczności okręgów. Okręgi dotykają się w punkcie $(4, 0)$ na prostej środków (oś $OX$). Styczna w tym punkcie jest prostopadła do $S_1S_2$: $x = 4$.

Krok 2. Punkt $E$. Styczne zewnętrzne przechodzą przez punkt $E$ osi $OX$, dla którego $\frac{|ES_1|}{|ES_2|} = \frac{4}{1}$ i $E$ leży za mniejszym okręgiem: $E = \left(\frac{20}{3}, 0\right)$ (sprawdzenie: $\frac{20}{3} : \frac{5}{3} = 4$).

Krok 3. Styczne przez $E$ do pierwszego okręgu. Prosta $y = a\left(x - \frac{20}{3}\right)$:

$\frac{\frac{20}{3}|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{400}{9}a^2 = 16a^2 + 16 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{9}{16}.$

Odpowiedź. Trzy wspólne styczne: $x = 4$, $3x - 4y - 20 = 0$ i $3x + 4y - 20 = 0$. Dla $3x - 4y - 20 = 0$: $d(S_1) = \frac{20}{5} = 4$, $d(S_2) = \frac{|15 - 20|}{5} = 1$. Punkty styczności tej prostej to $\left(\frac{12}{5}, -\frac{16}{5}\right)$ i $\left(\frac{28}{5}, -\frac{4}{5}\right)$.

Okrąg styczny do dwóch okręgów

Okrąg o środku $S$ i promieniu $R$ jest styczny zewnętrznie do okręgu $(S_1, r_1)$, gdy $|SS_1| = R + r_1$, a wewnętrznie (dany okrąg w środku) - gdy $|SS_1| = R - r_1$. Styczność do dwóch okręgów daje więc dwa równania na współrzędne środka.

Przykład 7. Wyznacz okręgi o promieniu $3$ styczne zewnętrznie do obu okręgów $x^2 + y^2 = 4$ i $(x - 8)^2 + y^2 = 4$.

Krok 1. Odległości środka. $|SS_1| = |SS_2| = 3 + 2 = 5$, więc $S$ leży na symetralnej odcinka $S_1S_2$, czyli na prostej $x = 4$.

Krok 2. Druga współrzędna. $4^2 + q^2 = 25$, więc $q = 3$ albo $q = -3$.

Odpowiedź. $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$ oraz $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 9$. Pierwszy dotyka okręgu $x^2 + y^2 = 4$ w punkcie $\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ - leżącym na odcinku między środkami, w odległości $2$ od $S_1$.

Typowe błędy

• Zgubiona styczna pionowa. Gdy z warunku na $a$ wychodzi jedno rozwiązanie albo równanie liniowe, trzeba sprawdzić prostą $x = x_0$ (przykład 2).
• Styczna przez $P$ liczona jak styczna w $P$. Wzór „prostopadła do promienia $SP$” działa tylko wtedy, gdy $P$ leży na okręgu. Dla punktu z zewnątrz trzeba użyć parametru.
• Opuszczanie wartości bezwzględnej przy dwóch okręgach. Z $|b| = |5a + b|$ wynikają dwa przypadki ($b = 5a + b$ albo $b = -(5a + b)$) - jeden daje styczne zewnętrzne, drugi wewnętrzne. Kto zapisze tylko $b = 5a + b$, zgubi połowę rozwiązań.
• Liczba wspólnych stycznych pomylona z liczbą punktów wspólnych. Okręgi przecinające się mają 2 punkty wspólne i 2 wspólne styczne, ale rozłączne zewnętrznie - 0 punktów wspólnych i aż 4 styczne.
• Jeden okrąg zamiast dwóch w zadaniach „okrąg przez dwa punkty styczny do prostej” - równanie kwadratowe ma zwykle dwa pierwiastki i oba dają poprawne okręgi.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez punkt? Zapisz prostą przez ten punkt z parametrem: $y - y_0 = a(x - x_0)$, przekształć ją do postaci ogólnej i zażądaj, żeby odległość środka okręgu od niej była równa promieniowi. Rozwiąż równanie z niewiadomą $a$, a na koniec sprawdź osobno prostą pionową $x = x_0$.

Ile stycznych można poprowadzić z punktu do okręgu? Dwie, jeśli punkt leży na zewnątrz okręgu; jedną, jeśli leży na okręgu (wtedy jest prostopadła do promienia); żadnej, jeśli leży wewnątrz.

Jak obliczyć długość odcinka stycznej? Promień poprowadzony do punktu styczności $T$ jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $PTS$ jest prostokątny i $|PT| = \sqrt{|PS|^2 - r^2}$. Oba odcinki stycznych z jednego punktu mają tę samą długość.

Ile wspólnych stycznych mają dwa okręgi? Cztery, gdy są rozłączne zewnętrznie; trzy, gdy są styczne zewnętrznie; dwie, gdy się przecinają; jedną, gdy są styczne wewnętrznie; żadnej, gdy jeden leży wewnątrz drugiego (także gdy są współśrodkowe i różne).

Czym różni się wspólna styczna zewnętrzna od wewnętrznej? Przy stycznej zewnętrznej oba okręgi leżą po tej samej stronie prostej, przy wewnętrznej - po przeciwnych. Styczna wewnętrzna przecina odcinek łączący środki, zewnętrzna - nie.

Jak sprawdzić, czy okrąg jest styczny do prostej? Oblicz odległość środka okręgu od prostej ze wzoru $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ i porównaj z promieniem - styczność zachodzi dokładnie wtedy, gdy $d = r$.

Przećwicz

• Prosta i okrąg - zadania → - na końcu zestawu zadania z tej lekcji: styczne z punktu, które okazują się prostopadłe, styczna pionowa z punktu P = (0, 3) i okrąg przez dwa punkty styczny do prostej.
• Dwa okręgi - zadania → - cztery wspólne styczne, w tym pionowa, długości odcinków wspólnych stycznych i liczba wspólnych stycznych w zależności od parametru.
• Dalej: wektory w zadaniach z geometrii analitycznej - kwadrat, romb i trójkąt równoboczny rachunkiem na wektorach.

Podsumowanie

• Prosta jest styczna do okręgu dokładnie wtedy, gdy $d(S, k) = r$ - z tego jednego warunku wynikają wszystkie rachunki w lekcji.
• Styczne z punktu $P$: prosta $y - y_0 = a(x - x_0)$ + warunek $d = r$, a potem zawsze kontrola prostej pionowej $x = x_0$.
• Punkt styczności to rzut środka okręgu na styczną; $|PT| = \sqrt{|PS|^2 - r^2}$, a kąt między stycznymi spełnia $\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{|PS|}$.
• Okrąg styczny do prostej w punkcie $T$ ma środek na prostopadłej przez $T$.
• Wspólne styczne dwóch okręgów: dwa warunki odległości; dzielenie stronami daje przypadek stycznych zewnętrznych i wewnętrznych. Okręgi mogą mieć 4, 3, 2, 1 albo 0 wspólnych stycznych.

Zobacz też

• Punkty wspólne prostej, okręgu i paraboli - lekcja z klasy 2: podstawienie, delta i odejmowanie równań okręgów.
• Równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej - wzór, na którym stoi ta lekcja.
• Twierdzenie o stycznej i siecznej - ta sama długość odcinka stycznej w ujęciu syntetycznym.
• Wektory i geometria analityczna - spis lekcji rozdziału.