Cztery wspólne styczne okręgów (x − 1)² + (y − 1)² = 9 i (x − 7)² + (y − 9)² = 9 - w tym pionowa

Krok 1. Ile stycznych szukamy. $S_1 = (1, 1)$, $S_2 = (7, 9)$, $r_1 = r_2 = 3$, $|S_1S_2| = \sqrt{36 + 64} = 10 > 3 + 3$. Okręgi są rozłączne zewnętrznie, więc mają cztery wspólne styczne: dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.

Krok 2. Warunki dla prostej $ax - y + b = 0$.

$\frac{|a - 1 + b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 3, \qquad \frac{|7a - 9 + b|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad |a - 1 + b| = |7a - 9 + b|.$

Krok 3. Przypadek pierwszy: $a - 1 + b = 7a - 9 + b$. Stąd $6a = 8$, $a = \frac{4}{3}$ - to współczynnik kierunkowy prostej $S_1S_2$, więc są to styczne zewnętrzne (równoległe do prostej środków, bo promienie są równe). Z pierwszego warunku:

$\left|\frac{1}{3} + b\right| = 3\sqrt{\frac{16}{9} + 1} = 5 \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{14}{3} \quad\text{albo}\quad b = -\frac{16}{3}.$

Styczne: $y = \frac{4}{3}x + \frac{14}{3}$ i $y = \frac{4}{3}x - \frac{16}{3}$, czyli $4x - 3y + 14 = 0$ i $4x - 3y - 16 = 0$.

Krok 4. Przypadek drugi: $a - 1 + b = -(7a - 9 + b)$. Stąd $2b = 10 - 8a$, czyli $b = 5 - 4a$. Każda taka prosta przechodzi przez $M = (4, 5)$ - środek odcinka $S_1S_2$ (bo $5 = 4a + 5 - 4a$). To kandydatki na styczne wewnętrzne. Z pierwszego warunku:

$\frac{|4 - 3a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 16 - 24a + 9a^2 = 9a^2 + 9 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{7}{24}.$

Wyszło jedno rozwiązanie, a stycznych wewnętrznych ma być dwie.

Krok 5. Brakująca styczna jest pionowa. Postać $y = ax + b$ nie obejmuje prostych pionowych. Prosta pionowa przez $M$ to $x = 4$: jej odległość od $S_1$ wynosi $|4 - 1| = 3$, a od $S_2$ - $|4 - 7| = 3$. Jest styczna do obu okręgów, a okręgi leżą po jej przeciwnych stronach.

Krok 6. Druga styczna wewnętrzna. $a = \frac{7}{24}$, $b = 5 - \frac{28}{24} = \frac{23}{6}$: $y = \frac{7}{24}x + \frac{23}{6}$, czyli $7x - 24y + 92 = 0$. Kontrola:

$d(S_1) = \frac{|7 - 24 + 92|}{25} = \frac{75}{25} = 3, \qquad d(S_2) = \frac{|49 - 216 + 92|}{25} = \frac{75}{25} = 3.$

Wyrażenie $7x - 24y + 92$ ma w $S_1$ wartość $75$, a w $S_2$ wartość $-75$ - przeciwne znaki potwierdzają, że to styczna wewnętrzna.

Odpowiedź. Cztery wspólne styczne: zewnętrzne $4x - 3y + 14 = 0$ i $4x - 3y - 16 = 0$ oraz wewnętrzne $x = 4$ i $7x - 24y + 92 = 0$.