Długość wspólnej cięciwy dwóch okręgów bez wyznaczania punktów przecięcia

Krok 1. Środki i promienie. Dopełniamy do kwadratu:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25, \qquad (x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 20.$

Zatem $S_1 = (1, 2)$, $r_1 = 5$ oraz $S_2 = (4, 6)$, $r_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Odległość środków $d = \sqrt{9 + 16} = 5$ leży między $r_1 - r_2 = 5 - 2\sqrt{5} \approx 0{,}53$ a $r_1 + r_2 \approx 9{,}47$ - okręgi rzeczywiście się przecinają.

Krok 2. Prosta zawierająca cięciwę. Odejmujemy równania stronami:

$(-2x - 4y - 20) - (-8x - 12y + 32) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x + 8y - 52 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 4y - 26 = 0.$

Krok 3. Odległość środka $S_1$ od tej prostej.

$h = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 26|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3.$

Krok 4. Twierdzenie Pitagorasa. Odcinek $S_1M$ ($M$ - środek cięciwy) jest prostopadły do cięciwy, a promień $r_1$ biegnie do jej końca. Połowa cięciwy ma długość

$\sqrt{r_1^2 - h^2} = \sqrt{25 - 9} = 4,$

więc cała cięciwa ma długość $8$.

Krok 5. Kontrola drugim okręgiem. Odległość $S_2$ od prostej: $\frac{|12 + 24 - 26|}{5} = 2$, a połowa cięciwy $\sqrt{20 - 4} = 4$ - ten sam wynik.

Odpowiedź. Wspólna cięciwa okręgów ma długość $8$.