Okrąg o środku P = (−3, 4) styczny do danego okręgu - dwa rozwiązania

Krok 1. Dany okrąg. Dopełniamy do kwadratu:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 + 16 = 25,$

więc $S = (3, -4)$, $r = 5$. (Brak wyrazu wolnego w równaniu oznacza, że okrąg przechodzi przez początek układu.)

Krok 2. Położenie punktu $P$.

$|PS| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 > 5,$

czyli $P$ leży na zewnątrz danego okręgu. Szukany promień oznaczmy $R$.

Krok 3. Styczność zewnętrzna: $|PS| = R + r$. $R + 5 = 10$, więc $R = 5$.

Krok 4. Styczność wewnętrzna: $|PS| = |R - r|$. $|R - 5| = 10$ daje $R = 15$ albo $R = -5$; promień musi być dodatni, więc $R = 15$. Taki okrąg zawiera dany okrąg w swoim wnętrzu i dotyka go w jednym punkcie.

Uwaga: to częsty błąd - rozwiązujący poprzestają na $R = 5$ i gubią drugi okrąg.

Krok 5. Punkty styczności. Oba leżą na prostej $PS$. Zewnętrzny jest w połowie odcinka $PS$ (bo $R = r = 5$): $T_1 = (0, 0)$. Wewnętrzny leży po drugiej stronie $S$, w odległości $5$ od $S$:

$T_2 = S + \frac{5}{10}\overrightarrow{PS} = (3 + 3,\ -4 - 4) = (6, -8).$

Kontrola: $|PT_2| = \sqrt{81 + 144} = 15 = R$ oraz $36 + 64 - 36 - 64 = 0$ - punkt $T_2$ leży na danym okręgu.

Odpowiedź. Są dwa takie okręgi: $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$ (styczny zewnętrznie w punkcie $(0, 0)$) oraz $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 225$ (styczny wewnętrznie w punkcie $(6, -8)$).