Punkty wspólne dwóch okręgów przez odjęcie równań - x² + y² = 25 i x² + y² − 2x − 14y + 25 = 0

Krok 1. Czy punkty wspólne w ogóle istnieją? Pierwszy okrąg: $S_1 = (0, 0)$, $r_1 = 5$. Drugi po dopełnieniu do kwadratu: $(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 1 + 49 - 25 = 25$, czyli $S_2 = (1, 7)$, $r_2 = 5$. Odległość środków $d = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ spełnia $0 < d < 10$, więc okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Krok 2. Odejmujemy równania stronami. Wyrazy $x^2$ i $y^2$ się redukują:

$(x^2 + y^2 - 25) - (x^2 + y^2 - 2x - 14y + 25) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 14y - 50 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + 7y - 25 = 0.$

Uwaga: to jeszcze nie jest odpowiedź. Odjęcie równań daje prostą, na której leżą punkty wspólne - same punkty trzeba dopiero wyznaczyć, przecinając tę prostą z jednym z okręgów.

Krok 3. Przecinamy prostą z pierwszym okręgiem. Z prostej $x = 25 - 7y$, więc

$(25 - 7y)^2 + y^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 50y^2 - 350y + 600 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 - 7y + 12 = 0.$

Krok 4. Rozwiązania. $\Delta = 49 - 48 = 1$, więc $y = 3$ albo $y = 4$. Wtedy $x = 25 - 21 = 4$ albo $x = 25 - 28 = -3$. Punkty wspólne: $A = (4, 3)$ i $B = (-3, 4)$.

Krok 5. Kontrola w drugim równaniu. Dla $A$: $16 + 9 - 8 - 42 + 25 = 0$. Dla $B$: $9 + 16 + 6 - 56 + 25 = 0$.

Krok 6. Długość wspólnej cięciwy.

$|AB| = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$

Cięciwa jest prostopadła do odcinka środków: prosta $S_1S_2$ ma współczynnik kierunkowy $7$, a prosta $AB$ współczynnik $-\frac{1}{7}$, i $7 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -1$.

Odpowiedź. Okręgi przecinają się w punktach $(4, 3)$ i $(-3, 4)$, a ich wspólna cięciwa ma długość $5\sqrt{2}$.