Dla jakich m okręgi x² + y² = 9 i (x − 4)² + (y − m)² = 4 są styczne

Krok 1. Dane okręgów. $S_1 = (0, 0)$, $r_1 = 3$; $S_2 = (4, m)$, $r_2 = 2$. Odległość środków zależy od $m$:

$d = \sqrt{4^2 + m^2} = \sqrt{16 + m^2}.$

Krok 2. Styczność zewnętrzna: $d = r_1 + r_2 = 5$.

$\sqrt{16 + m^2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad m^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad m = -3 \ \text{lub} \ m = 3.$

Krok 3. Styczność wewnętrzna: $d = |r_1 - r_2| = 1$. Wymagałoby to $16 + m^2 = 1$, czyli $m^2 = -15$ - sprzeczność. To widać też bez rachunku: środek $S_2$ leży na prostej $x = 4$, więc $d \ge 4 > 1$ dla każdego $m$. Okręgi nigdy nie są styczne wewnętrznie ani jeden w drugim.

Uwaga: nie wolno pominąć tego przypadku - w wielu zadaniach daje on dodatkowe rozwiązania.

Krok 4. Dwa punkty wspólne: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$. Nierówność $d > 1$ zachodzi zawsze, zostaje

$\sqrt{16 + m^2} < 5 \quad\Longleftrightarrow\quad m^2 < 9 \quad\Longleftrightarrow\quad m \in (-3, 3).$

Krok 5. Punkty styczności. Leżą na odcinku $S_1S_2$ w odległości $3$ od $S_1$, czyli $T = \frac{3}{5}S_2$:

• dla $m = 3$: $T = \left(\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$,
• dla $m = -3$: $T = \left(\frac{12}{5}, -\frac{9}{5}\right)$.

Kontrola dla $m = 3$: $\frac{144}{25} + \frac{81}{25} = 9$ oraz $\left(\frac{12}{5} - 4\right)^2 + \left(\frac{9}{5} - 3\right)^2 = \frac{64}{25} + \frac{36}{25} = 4$.

Odpowiedź. Okręgi są styczne (zewnętrznie) dla $m = -3$ - w punkcie $\left(\frac{12}{5}, -\frac{9}{5}\right)$ - oraz dla $m = 3$ - w punkcie $\left(\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$. Dwa punkty wspólne mają dla $m \in (-3, 3)$, a dla $|m| > 3$ są rozłączne zewnętrznie.