Wzajemne położenie dwóch okręgów z ich równań - pięć par okręgów

Krok 1. Reguła. Z równań odczytujemy środki $S_1$, $S_2$ i promienie $r_1$, $r_2$, liczymy odległość środków $d = |S_1S_2|$ i porównujemy ją z $r_1 + r_2$ oraz $|r_1 - r_2|$:

• $d > r_1 + r_2$ - rozłączne zewnętrznie;
• $d = r_1 + r_2$ - styczne zewnętrznie;
• $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ - przecinające się;
• $d = |r_1 - r_2| > 0$ - styczne wewnętrznie;
• $d < |r_1 - r_2|$ - rozłączne wewnętrznie (gdy $d = 0$: współśrodkowe).

Krok 2. a) $S_1 = (1, 1)$, $r_1 = 2$; $S_2 = (4, 5)$, $r_2 = 3$. $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 = r_1 + r_2$ - okręgi styczne zewnętrznie.

Krok 3. b) $S_1 = (0, 2)$, $r_1 = 5$; $S_2 = (3, -2)$, $r_2 = 1$. $d = \sqrt{9 + 16} = 5$, a $|r_1 - r_2| = 4 < 5 < 6 = r_1 + r_2$ - okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Krok 4. c) $S_1 = (-2, 0)$, $r_1 = 6$; $S_2 = (1, 4)$, $r_2 = 1$. $d = \sqrt{9 + 16} = 5 = 6 - 1$ - okręgi styczne wewnętrznie.

Zauważ: w a), b) i c) odległość środków jest taka sama, $d = 5$, a położenie za każdym razem inne. Sama odległość środków nic nie rozstrzyga - liczy się jej porównanie z promieniami.

Krok 5. d) $S_1 = (2, -1)$, $r_1 = 7$; $S_2 = (3, -1)$, $r_2 = 2$. $d = 1 < 5 = r_1 - r_2$ - mniejszy okrąg leży wewnątrz większego, okręgi są rozłączne wewnętrznie.

Krok 6. e) Postać ogólna. Dopełniamy do kwadratu: $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ oraz $(x - 2)^2 + y^2 = 9$. Oba okręgi mają środek $(2, 0)$, czyli $d = 0$, a promienie $2$ i $3$ - okręgi współśrodkowe, bez punktów wspólnych. To samo widać po odjęciu równań: zostaje $5 = 0$, równość sprzeczna.

Odpowiedź. a) styczne zewnętrznie, b) przecinające się, c) styczne wewnętrznie, d) rozłączne wewnętrznie (jeden w drugim), e) współśrodkowe (rozłączne wewnętrznie, wspólny środek).