Położenie okręgów w postaci ogólnej i najmniejsza odległość między nimi

Krok 1. Pierwszy okrąg - dopełnienie do kwadratu.

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9.$

Środek $S_1 = (2, -1)$, promień $r_1 = 3$.

Krok 2. Drugi okrąg.

$(x + 4)^2 - 16 + (y - 7)^2 - 49 + 40 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 25.$

Środek $S_2 = (-4, 7)$, promień $r_2 = 5$.

Krok 3. Odległość środków i położenie.

$d = |S_1S_2| = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (7 + 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10.$

Ponieważ $d = 10 > 8 = r_1 + r_2$, okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Krok 4. Najmniejsza odległość. Najbliższe sobie punkty $K$ i $L$ leżą na odcinku $S_1S_2$: od środka $S_1$ odcinamy promień $3$, od $S_2$ promień $5$. Zostaje

$|KL| = d - r_1 - r_2 = 10 - 3 - 5 = 2.$

Kontrola współrzędnymi: $K = S_1 + \frac{3}{10}\overrightarrow{S_1S_2} = (2 - 1{,}8;\ -1 + 2{,}4) = (0{,}2;\ 1{,}4)$, $L = S_2 + \frac{5}{10}\overrightarrow{S_2S_1} = (-4 + 3;\ 7 - 4) = (-1, 3)$, a $|KL| = \sqrt{1{,}2^2 + 1{,}6^2} = \sqrt{4} = 2$.

Odpowiedź. Okręgi są rozłączne zewnętrznie, a najmniejsza odległość między ich punktami wynosi $2$.